在过去二十年里,凝聚态物理中拓扑物态这一领域高速发展,新奇的拓扑态不断被提出,又得益于第一性原理材料计算的发展,验证这些拓扑态存在的实际材料也陆续被发现。最近几年里,人们完成了系统性地分类空间群中拓扑物态的工作,也提出了高效判别材料拓扑性质的拓扑量子化学方法,基于此,拓扑材料数据库得以建立。在本文中,我们首先回顾拓扑物态的发展历程,介绍常用的理论与数值计算方法,再简要介绍本文中用到的第一性计算的有关理论。在论文主体部分我们介绍有关拓扑物态的三个研究工作。在第三章中我们介绍磁性拓扑量子化学的工作。拓扑量子化学与对称性指标理论最开始都是基于非磁性材料所满足的230个空间群,因此在1651个磁空间群对其进行研究是一个自然的推广。我们基于之前拓扑量子化学的结果,分析了磁群中的反幺正对称性对实空间轨道表示与倒空间能带表示造成的影响,最后可以构建出磁群的能带表示。通过对能带表示矩阵进行史密斯分解,我们可以得到对称性指标与其计算公式。随后我们对一些含有磁性原子的材料进行了搜索,发现了一些新的磁性拓扑材料。在第四章中我们介绍非常规材料的工作。我们拓展了拓扑量子化学理论的应用范围,原本拓扑量子化学的基本思想是将材料能带表示向基本能带表示进行分解以判断其是否与原子绝缘体等价。我们认为在与原子绝缘体等价的拓扑平庸的材料中,也有一类材料由于能带表示分解结果的特殊性,可能具有电荷中心偏离原子位置的特点,我们将这类材料称为非常规材料。偏离后的电荷中心的稳定性可以用实空间不变量来进行描述。我们用能带表示分解和实空间不变量的方法对这类材料进行了搜索,发现了数百种非常规材料。在第五章中我们介绍外尔半金属方面的工作。由于外尔点不需要对称性的保护,通常出现在布里渊区普通点上,因此对外尔费米子材料的搜索比较困难。我们研究发现,对于具有S4对称性的体系,可以在布里渊区特定平面上定义拓扑不变量,用非零的拓扑不变量反映外尔点的存在。该拓扑不变量通常可以计算Wilson loop得到,并且它与对称性指标间存在联系,通过简单的对称性指标也可以判断该拓扑不变量的奇偶性,进而判断外尔点的存在。我们利用这种方法在S4对称的体系中找到了之前未被发现的外尔费米子材料。