【摘 要】
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数域的理想类群是代数数论的主要研究对象之一,然而正如素数那样,它并不情愿向人们揭开它那神秘的面纱。目前关于理想类群的研究远远称不上完善,许多著名的猜想悬而未决,例如实二次域的Guass猜想,关于分圆域极大实子域的Vandiver猜想。本文研究二次域理想类群的n阶元的问题,旨在解决日本学者提出的一个猜想的某些情形,即证明:对任意正整数n,m(n>1且2(?)n),存在无穷多对虚二次域Q((?)
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数域的理想类群是代数数论的主要研究对象之一,然而正如素数那样,它并不情愿向人们揭开它那神秘的面纱。目前关于理想类群的研究远远称不上完善,许多著名的猜想悬而未决,例如实二次域的Guass猜想,关于分圆域极大实子域的Vandiver猜想。本文研究二次域理想类群的n阶元的问题,旨在解决日本学者提出的一个猜想的某些情形,即证明:对任意正整数n,m(n>1且2(?)n),存在无穷多对虚二次域Q((?))和Q((?)),它们的类群均含有n阶元。为了达到上述目的,本文首先改进了一个刻画二次域类群n阶元的经典结果,得到了二次域Q((?))的类群含有n阶元的充分条件。接着本文讨论了关于多项式族{xn-ai)有理解的局部整体原理,它确保了某类素数的存在性和无穷性,使后续的构造得以进行。在此基础上,本文用一类丢番图方程的解构造出符合上述要求的Q((?))和Q((?)),并证明其无穷性。猜想相应的结果在实二次域的情形也成立。借助于类域论的结果以及上述构造,本文证明n=3的情形。
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