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本篇博士论文系统地研究了Ricci流在t=0时的奇性问题.确切地说,是研究在t＼0时,曲率趋于无穷大的Ricci流的奇性结构.在Ricci流具有非负曲率算子的假设条件下,我们给出了初始奇异的n维Ricci流奇性结构的一个完整刻画.
我们工作的困难主要在于需要给出内射半径的一致估计,这等价于要证明Ricci流在奇异时刻t=0是非坍塌的.受Perelman工作的启发,我们给出了两种证明方法.
第一种是利用扩张熵W+的一致有界性以及扩张熵W+沿Ricci流的单调性,我们能够证明：定义在(0,T]上奇性为typeIV的紧致无边流形上的Ricci流,如果其数量曲率非负,那么g(t)在t=0时是非坍塌的.
第二种方法是利用基于奇异时间t=0的向前约化体积沿着Ricci流的单调性.我们要处理的是Ricci流在t=0时的奇性问题.由于没有现成的工具可用,因此,我们在本文中用了较大的篇幅制造所需要的工具.
首先,与Perelman在[17]ξ6中的工作平行,我们也构造了一个可以将[δ,T]上的Ricci流嵌入其中的更大的时空流形(～M+,～g).我们在(～M+,～g)上引入 +p,δ长度的概念.它与Michael Feldman,Tom Ilmanen,Lei Ni的文章[10]中L+-长度类似.与他们的做法相同,通过对L+p,δ做第一变分,自然得到L+p,δ-测地线和向前约化距离ι+p,δ(forward reduced distance)的概念.仿照Perelman[17]§7中的工作,我们先计算出关于向前约化距离ι+p,δ的一阶导数估计,然后再对L+p,δ测地线的长度L+p,δ做二阶变分,进而得到向前约化距离ι+p,δ的拉普拉斯(Laplacian)估计.从而能够证明与ι+p,δ对应的向前约化体积沿着Ricci流是单调递减的.然后我们仿照Joerg Enders在[9]中的做法,将向前约化距离ι+p,δ延拓到基于奇异时间t=0的向前约化距离ι+p,0,由于ι+p,0基本上沿袭了ι+p,δ的一阶导数和拉普拉斯的估计,因此,可以得到基于奇异时间t=0的向前约化体积沿着Ricci流的单调性.利用前面的工具,我们在比第一种证明方法更强的假设条件下,即在紧致无边流形上奇性为typeB的Picci流具有非负曲率算子的假设下,给出了Ricci流g(t)在奇异时间t=0是非坍塌的第二种证明方法. 最后一节中,我们运用微分的Harnack不等式可以证明：定义在(0,T]上具有非负曲率算子的n维Picci流的奇性是typeIV.然后通过选取适当的点列逼近奇性.由于我们已经证明了具有非负曲率算子的Picci流在奇异时刻t=0时是非坍塌的,这就保证了做伸缩变换后这一族Ricci流存在收敛的子序列,其极限为扩张的Ricci孤立子.从而完整地证明了我们的主要定理.
我们的目标是研究Ricci流在奇异时刻t=0时的渐近行为.然而目前我们只能处理(0,T]上的具有非负曲率算子的n维Picci流在奇异时刻t=0的奇性结构.原因在于：一、我们需要运用微分的Harnack不等式得到(0,T]上的n维Ricci流奇性是typeIV,而微分的Harnack不等式要求曲率算子是非负的；二、我们在证明Ricci流在奇异时刻t=0是非坍塌时,也对曲率有某种正性要求.这也反映出我们目前的工作有一定的局限性.