在微分几何和偏微分方程中,平均曲率型方程非常重要.关于此类方程近年来有许多学者进行研究,其中备受青睐的有平均曲率流方程和极小曲面方程(可以查看文献列表中的文章).关于平均曲率流方程,解的长时间存在性和收敛行为都备受关注,例如文献[6],[12],[27],[32],[34]等.而关于极小曲面方程,它的水平集的凸性也被数学家们所青睐,例如[24],[25],[30],[31]等.可见对平均曲率型方程的研究是很有意义的.下面,本文通过构造合适的辅助函数,分两章研究平均曲率型方程的两个几何性质.首先,第一章探讨了平均曲率流方程(1.1)在斜导数边值条件下解的全局梯度估计,继而给出解的长时间存在性.特别地,当斜导数边值为常数0时,我们将Huisken规定垂直接触角的结果推广,进一步证明了平均曲率流方程的渐近行为.将上述结果整理后,具体如下:定理1令Ω为Rn上有界区域,(?),n ≥2.假设(?),(?)且对于一些非负常数k≥0,f(x,τ)满足fτ≥-k.存在α∈(0,1),方程存在唯一的(?)解.其中β是沿(?)的一个C3单位严格斜向量场定理2令Ω为Rn上有界光滑区域,n≥2.β是沿(?)的一个光滑单位严格斜向量场.则随着时间的推移,下列平均曲率流的解将收敛到一个常数.其中γ是u的图上的向下单位法向量场,u0(x)为给定的光滑函数且满足相容条件u0,β=0 on(?)Ω.第二章讨论的是R2中具有严格凸水平集的极小曲面,通过构造辅助函数探究水平集的曲率,得到了曲率函数关于极小曲面函数高度的凸性.并且表明我们的结果是最优的.本章主要结果如下:定理3令(?),t0≤u(x)≤t1是定义在Ω上的极小曲面,也就是其中Ω是R2中有界光滑区域.假设(?),令Γt={x∈Ω|u(x)=t} for t0