非线性方程广泛存在于各个专业领域中,如何求解它们是数学中的一个重要问题。同伦分析法是一种求解非线性方程近似级数解的重要解析方法,已被成功应用于求解许多非线性微分方程和代数方程。该方法求得的近似解析解中含有能在一定程度上控制和调节解收敛范围和速度的参数。如何合适地选取该参数是同伦分析法研究中的基本问题。本文研究的主要内容是在同伦分析法中提出新的收敛控制参数选取方法,另外还研究了求解一般非线性代数方程的同伦分析法及 Newton同伦分析法。　　第一章介绍了同伦分析法的产生及发展状况,重点描述了近年来关于收敛控制参数选取方面的进展及同伦分析法在求解非线性代数方程上的应用。　　第二章基于Marinca和单步优化同伦分析法,提出了多步和混合优化同伦分析法。这些方法可以看成是对Marinca和单步优化同伦分析法的推广。通过求解一个简单的线性微分方程具体描述了这两种方法的同伦分析过程和计算结果。为更好地考察多步和混合优化方法的计算表现,将这些方法用来求解一个变系数线性微分方程和两个由变分问题转化而来的非线性微分方程。所有计算结果表明这两种方法能有效而快速地求出问题的高阶近似解,其计算效率明显高于传统同伦分析法和Marinca优化同伦分析法,它们的总体计算效果与单步优化同伦分析法相当。　　第三章提出了一般非线性代数方程的同伦分析法。该方法将很多现有的迭代法作为它的特例。基于这种同伦分析法推导出了几个具体的迭代公式,包括六阶迭代公式和Newton同伦分析法。证明了这些公式的收敛阶。数值实验表明这些迭代法具有很好的数值效果,同时也验证了带收敛控制参数的迭代法能在某种程度上扩大迭代公式的收敛范围和提高解的收敛速度。　　第四章对全文做了简单总结，并探讨了同伦分析法发展中一些待解决的问题。