在工程技术和自然科学的众多领域中,许多实际问题最终都归结为常微分方程(组)的初值问题,而Runge-Kutta方法是求解该类问题的常用解法,也是计算机应用软件中数值计算常微分方程(组)的通用解法。它是常微分方程数值解法的一个研究中心,一直备受关注。本文将正交多项式的逼近理论和高斯-洛巴托求积公式结合在一起,构造了一系列的Runge-Kutta算法,并对它们做了理论分析。具体工作如下:　　(1)对于常微分方程初值问题,利用勒让德级数逼近未知函数,再根据勒让德多项式的正交性将逼近系数转化为求积格式,分别利用5点和4点的高斯-洛巴托-勒让德求积公式算出逼近系数,构造了4个隐式Runge-Kutta算法。理论分析表明,其中一个算法是4级4阶的,其他算法的精度略差。4阶算法是A0稳定的, A(?)稳定的,stiff稳定的和几乎A稳定的,可以求解刚性常微分方程初值问题。　　(2)利用切比雪夫多项式逼近未知函数,以切比雪夫多项式的偏差点为插值节点,结合高斯-洛巴托-切比雪夫求积公式,构造了一个6级隐式Runge-Kutta算法。根据有根树理论,推导了第6阶算法的阶条件,并检验确定该算法具有6阶精度。该算法是A0稳定的,是A(?)稳定的且?值接近于900,是stiff稳定的且D值接近于0,是几乎A稳定的。新算法可以有效求解刚性常微分方程初值问题,数值算例也显示了它的有效性。