【摘 要】
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本文主要研究了半群上的S-系包含图和交换半群中关于某个理想的零化理想图,给出了它们的定义并得到了这两类图的一些性质.其主要思想是利用代数理论来研究图结构.本文共分为
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本文主要研究了半群上的S-系包含图和交换半群中关于某个理想的零化理想图,给出了它们的定义并得到了这两类图的一些性质.其主要思想是利用代数理论来研究图结构.本文共分为三章,具体内容如下:第一章,给出了引言以及半群和图论中一些定义.第二章,主要研究了S-系包含图.设S是一个半群,M是S-系.记M的包含图为G(M),G(M)是无向简单图,它的顶点集由M的非平凡子系构成,顶点集中任意不同的两点是连接的当且仅当其中一个非平凡子系包含在另一个非平凡子系之中.基于该定义对这类图的完全性、连通性、直径、围长、团数和色数等性质进行了研究.主要结论如下:定理2.1.6设M是一个可分解S-系,则G(M)不连通当且仅当|G(M)|=2.定理2.1.11设M是一个可分解S-系,G(M)不连通当且仅当M是两个单S-系的余直积.定理2.2.1设M是一个不可分解S-系.若G(M)是一个连通图,则diam(G(M))≤2.定理2.2.3若G(M)中包含一个圈,则gG(M))=3.定理2.2.4若G(M)中有一条长度是4或5的圈,则G(M)中有一个三角形.定理2.3.1设S1和S2是半群,且S1和S2的包含图分别为G(S)和G(S2).则ω(G(S1))+ω(G(S2))+1≤χ(G(S1 × S2))≤χ(G(S1))+χ(G(S2))+1.定理2.3.4设S是一个半群.若S中有有限个左理想,则χ(G(S))=ω(G(S)).第三章,研究了交换半群S上关于理想I的零化理想图AGI(S).它的顶点集由S中关于I的零化理想构成.顶点集中不同的两点A,B是连接的当且仅当(?)在此定义下对零化子对图的影响以及这类图的基本性质进行研究,包括连通性、直径、围长、割点和完全性等.主要结论如下:定理3.1.4设S是交换半群.若AnnI(S)=S,则AGI(S)是完全图.定理3.1.8设S是关于理想I的交换零因子半群.则在AGI(S)的顶点集中存在一个顶点A与其他顶点连接,且满足I(?)A当且仅当AnnI(S)(?)I或AGI(S)是星图,其中A是星图的中心.定理3.1.13设S是关于理想I的交换零因子半群.若AnnI(S)(?)AI(S),则2|AnnI(S)\I|-1 ≤χ(AGI(S)).定理3.1.14设S是关于理想I的交换零因子半群.若S中每个不包含于I内的理想是真主理想,且当a≠b时,aS1≠6S1.那么AGI(S)中包含一个与ΓI(S)同构的子图.定理3.2.3设I是交换半群S的真理想,则AGI(S)是连通图,且diam(AGI(S))≤3.若AGI(S)中有一个圈,则g(AGI(S))≤4.定理3.2.4设I是交换半群S的理想.若(?)=I,则AGI(S)是完全图当且仅当AI(S)=Min(NI(S)).定理3.2.6设I是交换半群S的真理想,A是AGI(S)的顶点.若I(?)A则A不是AGI(S)的割点.定理3.3.3设I是交换半群S的理想,则1)g(AGI(S))∈{3,4,∞}.2)若对于任意的X ∈V(AGI(S)),有X(?),则g(AGI(S))=∞当且仅当AGI(S)是星图.定理3.3.6设I是交换半群S的理想,P1,P2是S的两个素理想且I=P1∩P2.若 |CP1(S)\CP2(S)|≥2 且 |CP2(S)\CP1(S)|≥2,则g(AG1(S))=4.
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