对流扩散方程用于描述粒子,能量或其它物理量在物理系统中的传递现象,被广泛应用于流体力学,环境科学和能源开发等领域.然而在实际应用中,常有一些不确定性出现于该方程的初始条件,边界条件和参数中,使其成为一个带有随机输入的对流扩散方程,即:随机对流扩散方程.要完成对一个随机对流扩散方程的求解,我们分别需要对概率空间,物理空间和时间进行离散,如何设计三类空间上的数值方法,实现随机对流扩散方程的快速高效求解,正是本文研究的重点.本文具体研究内容和结果如下:一.基于多项式混沌方法,我们研究了求解随机对流扩散方程的时间算法.通过多项式混沌方法对概率空间的处理,原随机对流扩散方程可以转化为一族耦合的确定性方程组,那么如何高效的求解该方程组即为我们的研究内容.通常情况下,求解该方程组的做法是时间上采用向后差分(backward differentiation formula,BDF)格式,其本质上是一种全隐格式,但该格式无法实现对方程组的解耦求解.为此,我们构造出能够对方程组解耦求解的隐显(implicit-explicit,IMEX)格式,若该格式稳定可行,必然会提高计算效率,节约时间成本.物理空间上我们采用了谱配点方法.数值结果表明一阶隐显格式(IMEX1),一阶向后差分格式(BDF1)和二阶向后差分格式(BDF2)稳定可行,二阶隐显格式(IMEX2)不稳定,易受时间步长,扰动参数和多项式混沌展开中多项式最高阶数的影响.二.基于随机配点方法,我们研究了求解随机对流扩散方程的时间算法.随机配点方法的关键一步是首先在概率空间上选取Q个特殊配点,然后求解每一个配点对应的确定性对流扩散方程.通常情况下,求解每一个确定性方程的做法是时间上采用BDF1和BDF2格式.若采用该格式求解每一个确定性方程,我们需要求得Q个不同的系数矩阵,进行Q次存储和Q次求解,效率不高.为此,我们提出一种改进的时间算法:集成时步算法(ensemble time-stepping algorithm,ETSA),该算法只需要求得一次系数矩阵,进行一次存储和求解即可,在很大程度上节约了存储空间,提高了计算效率.物理空间上我们采用了有限元方法.同时我们给出了一阶和二阶ETSA的稳定性分析和误差估计,数值结果与理论分析保持一致,并且一阶和二阶ETSA分别可以达到与BDF1和BDF2相同的误差精度.三.我们研究了对流占优扩散问题的径向基函数有限差分(radial basis function-generated finite difference,RBF-FD)方法.对流占优扩散问题,实际上也是边界层或者奇异摄动问题,在采用一些标准的数值方法求解时,往往会出现数值震荡.为此,我们基于Shishkin网格构造了一种混合格式,即:在粗网格上采用中点迎风格式,在细网格上采用标准的中心差分格式.该格式有效的提高了边界层处的精度,进而提高全局精度,并且该格式不会产生数值震荡.数值结果表明,在同样的Shishkin网格节点下,同样采用混合格式时,采用RBF-FD方法比采用有限差分方法能够得到更高精度的解.四.我们研究了求解半线性椭圆问题的两水平径向基函数方法.对于求解一个非线性问题而言,一种快速有效的方法是采用两水平的有限元方法进行求解.受两水平有限元方法启发,我们提出了基于径向基函数的两水平方法,该方法的主要思想是:第一步采用少量的节点并用径向基函数方法求解一个非线性问题,第二步采用大量的节点并用RBF-FD方法求解一个线性化的问题.相比于两水平的有限元方法而言,该方法操作更加简单.数值结果表明该方法高效可行.