随着信息技术的发展,一方面人们逐渐意识到信息安全的重要性,越来越重视隐私信息的保密性;另一方面随着云计算等技术的发展,信息的存储方式逐渐变为集中式存储,以达到更高效、更方便、更节省资源的目的.由此引出了一个实际问题就是如何在不可信任的第三方上实现可信任存储.由于全同态加密具有如下性质:对密文运算的结果等于对明文运算后的加密,因此全同态加密恰好可以解决这一问题.虽然全同态加密很早就已提出,但其研究进展一直不大,直到Gentry提出了第一个全同态加密方案,才将全同态加密的研究推进了新的时代.本文针对有限素域上的全同态加密方案及其应用进行研究.具体工作如下:1.介绍了全同态加密的关键技术,并对解密电路压缩技术、重加密技术和安全性证明等进行了系统的分析与研究;2.介绍了已有的基于整数上的全同态加密方案,对于目前已有方案的明文空间F2过小这一问题,分别提出了明文空间为有限素域Fp和F2上的n维向量空间Fn2上的全同态加密方案,并在二者的基础上提出了明文空间为Fnp的全同态加密方案.经过将已有方案和本文方案进行了分析与比较,发现本文提出的方案具有密文小,加解密时间短等优势;3.本文提出了有限素域Fp上矩阵的全同态加密方案,并将其应用于图像加密,提出了适用于图像的全同态加密方案.同时针对矩阵全同态加密方案的效率问题,提出了秘密部分元素伪丢弃处理的办法,进而得到了较快速的矩阵全同态加密方案,最后对全同态图像加密方案进行了实例演示.