【摘 要】
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Dynkin图是数学领域中一类重要的研究对象.众所周知,Dynkin图给出了复半单李代数、（晶体）根系统、Coxeter群、箭图有限表示型、有限型丛代数、反射幺半群等的分类.用Dynkin图作为桥梁,我们主要研究了丛代数理论和量子仿射代数、反射幺半群表示之间的联系.2010年,两位法国数学家Hernandez和Leclerc定义了丛代数幺半群范畴化的概念,他们首先研究了丛代数和量子仿射代数的有限维
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Dynkin图是数学领域中一类重要的研究对象.众所周知,Dynkin图给出了复半单李代数、（晶体）根系统、Coxeter群、箭图有限表示型、有限型丛代数、反射幺半群等的分类.用Dynkin图作为桥梁,我们主要研究了丛代数理论和量子仿射代数、反射幺半群表示之间的联系.2010年,两位法国数学家Hernandez和Leclerc定义了丛代数幺半群范畴化的概念,他们首先研究了丛代数和量子仿射代数的有限维表示之间的联系,证明了量子仿射代数的有限维表示范畴的某个子范畴的格罗滕迪克环上有丛代数结构,并且猜想:（ⅰ）丛单项式和实单模的同构类一一对应;（ⅱ）丛变量和素实单模同构类一一对应;（ⅲ）实单模的正规截断q-特征等于Jacobian代数上（通过带势箭图定义）某个rigid模（不唯一）的F-多项式.我们证明了 Hernandez-Leclerc猜想对一类特殊的模,Mukhin和Young称为蛇模,是成立的.2015年,Barot和Marsh用丛代数的方法研究了有限不可约晶体反射群的表现.我们研究了两个不同方向推广之间的联系.具体讲:作为通常箭图的推广,我们考虑带“冰冻”点的箭图;作为反射群的推广,我们考虑Everitt和Fountain的反射幺半群.我们证明了由“冰冻”点Dynkin图定义的逆幺半群同构于Everitt和Fountain的Boolean反射幺半群.我们的结果覆盖了 Everitt和Fountain的Boolean反射幺半群的表现和Popova的对称逆半群的表现.通过保持相同底图的突变序列构造了不可约Weyl群和Boolean反射幺半群的图内自同构.最后证明了 Boolean反射幺半群代数是胞腔代数.
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