【摘 要】
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非线性现象在应用数学和物理中是一种常见的动力学行为,它们可以通过很多耦合偏微分方程来描述,如KdV-mKdV方程,KdV-ZK方程,KdV-Burger方程和耦合Schrodinger-KdV方程等,这些
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非线性现象在应用数学和物理中是一种常见的动力学行为,它们可以通过很多耦合偏微分方程来描述,如KdV-mKdV方程,KdV-ZK方程,KdV-Burger方程和耦合Schrodinger-KdV方程等,这些耦合偏微分方程所描述的系统具有能量守恒特性.1984年,冯康院士首次系统地提出了保辛结构的辛几何算法.后来Bridges和Reich等人提出了多辛算法.1999年Quispel和McLachlan等人提出了二阶平均向量场方法,并广泛应用于各种偏微分方程.基于对平均向量场方法的修正,Quispel和McLachlan等人又提出了在时间方向上具有三阶和四阶精度的高阶保能量格式.本文主要利用平均向量场方法和傅里叶拟谱方法构造耦合偏微分方程的高阶保能量格式,对方程的新格式进行数值模拟,并分析其数值结果.在第1章,第1节,利用高阶平均向量场方法构造了三耦合薛定谔方程组的高阶保能量格式,数值模拟方程组在不同参数下孤立波的行为,并分析了格式的保能量守恒特性.第2节,基于四阶平均向量场方法和傅里叶拟谱方法构造了耦合Schrodinger-KdV方程的高阶保能量格式,并用新格式数值模拟孤立波的行为.在第2章,基于四阶平均向量场方法和Boole离散线积分理论,提出了哈密尔顿系统的高阶Boole离散线积分方法.利用高阶Boole离散线积分方法求解具有能量守恒特性的耦合Schrodinger-KdV方程,得到了该方程的新的高阶格式.在第3章,在多辛全局保能量理论的基础上,通过平均向量场方法和傅里叶拟谱方法数值离散多辛哈密尔顿系统,推导出三耦合薛定谔方程组的多辛全局保能量形式,计算出三耦合薛定谔方程组的数值解.
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