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设G是一个连通图,其顶点集合为V(G).对G中任意两个顶点i和j,i和j之间的距离定义为连接这两个顶点之间的最短路的长度,而i和j之间得电阻距离定义为用单位电阻代替G中的每条边后所得的电网络中这两个节点之间的等效电阻.图G的Wiener指标,记作W(G),定义为G中所有顶点之间的距离的和.图G的Kirchhoff指标,记作Kf(G),定义为G中所有顶点之间的电阻距离之和.图的Wiener指标和Kirchhoff指标是图的重要不变量,并且在化学里QSAR和QSPR的研究中具有广泛的应用.本文主要研究图的Wiener指标和Kirchhoff指标,具体研究内容如下所述. 首先,我们刻画具有第四大和第四小Wiener指标的单圈图.只含有一个圈的图称作单圈图.在之前的研究中,具有前三大和前三小Wiener指标的单圈图已经刻画清楚.沿着这个方向,我们进一步刻画具有第四大和第四小Wiener指标的单圈图.本文证明了在所有顶点数≥8的单圈图中,C5(Sn-4)和C2u1,u2(S3,Sn-4)具有第四小的Wiener指标,而C3u1,u2(P3,Pn-4)具有第四大的Wiener指标. 其次,我们完全解决了关于Kirchhoff指标的Nordhaus-Gaddum型结果的一个猜想.在2011年, Yang, Zhang和Klein[Y. Yang, H. Zhang, D.J. Klein, New Nordhaus-Gaddum-type results for the Kirchhoff index, J. Math Chem.49(2011)1587-1598]提出了关于Kirchhoff指标的Nordhaus-Gaddum型结果的一个猜想.他们猜想一个图(‐G)及其补图G的Kirchhoff指标的和达到最大当且仅当G是路Pn或者其补图(‐Pn).在文本中,应用图论和电网络的方法和技巧,我们完全解决了该猜想.