量子力学与经典力学的不同之处在于对粒子状态的刻画上.作为量子力学的基本方程之一,Schr(?)odinger方程刻画了微观粒子运动状态随时间的变化规律[1].大量的实际问题表明,与经典Schr(?)odinger方程相比,分数阶非线性Schr(?)odinger方程(FNLS)能够更加灵活地刻画微观粒子运动的真实情况,然而,分数阶Schr(?)odinger方程的精确解很难给出.因此,深入探讨分数阶Schr(?)odinger方程的理论,构造高效的数值模拟方法,已成为当前应用数学与计算数学界研究的重要课题之一.与二阶Schr(?)odinger方程相比,求解分数阶Schr(?)odinger方程模型要困难得多.在许多情况下,只能对分数阶方程进行数值求解.但由于分数阶拉普拉斯算子的非局部性质,通过数值方法得到的系数矩阵是一个非稀疏矩阵,用传统迭代算法求解将分别产生(?)(M~2)的存储量和(?)(M~2)的计算量.当计算体系较为复杂时,通过直接迭代的方法进行求解会导致计算过于复杂,效率很低.因此,构造高效简便的快速算法进行方程的求解具有重要的意义.本文拟从三个方面研究分数阶Schr(?)odinger方程的差分格式:一是借鉴差分方法与Adams-Bashforth外推技巧[2]构造质量守恒型差分格式;二是基于时间方向上的CN格式及空间方向上的四阶差分格式构造同时满足质量和能量守恒的差分格式;三是结合差分方法与交替方向技术,构造交替方向隐格式.1.分数阶Schr(?)odinger方程质量守恒型四阶差分格式构造.基于分数阶拉普拉斯算子与分数阶Riesz导数算子等价性的条件[3,4],我们对分数阶导数建立四阶差分格式逼近,以此实现对分数阶拉普拉斯算子的离散,而对非线性项采用线性化的处理方法.据此,提出了具有时间二阶精度空间四阶精度的线性化差分格式.本文的数值分析与数值实验结果表明,所设计格式的差分解存在且唯一,可以保持质量守恒的性质,且具有空间4阶、时间2阶的最优收敛精度.2.分数阶Schr(?)odinger方程质量-能量守恒型四阶差分格式构造.这一部分的工作是基于第一部分的工作展开的,但第一部分构造的差分格式无法很好的保持系统的能量守恒性质.在这一部分,我们构造了一个可以同时保持质量及能量守恒的四阶差分格式.同时,能量守恒确保了该格式能够较好地刻画孤立子系统.该部分的数值分析与与数值实验结果表明,所设计格式的差分解具有空间4阶、时间2阶的最优收敛精度.数值实验验证了该格式能够较好地保持质量守恒、能量守恒的物理性质以及孤立子的运动、双孤子的碰撞等一系列的性质.3.二维分数阶Schr(?)odinger方程守恒型交替方向隐格式(ADIM)构造.在本文的前两部分,我们考虑的是一维空间上的分数阶Schr(?)odinger方程,但是在更多的情况下,我们更关心的是二维甚至三维空间中的情况.在这一部分,针对二维非线性分数阶Schr(?)odinger方程,我们在时间方向上采用CN格式离散,空间方向上采用交替方向隐格式探究了二维分数阶Schr(?)odinger方程的数值格式,严格证明了线性情况下的收敛性,质量与能量守恒的性质以及非线性情况下的质量守恒的性质.同时,数值实验验证了理论分析的合理性.在对差分格式进行求解的过程中,我们发现,虽然系数矩阵是一个非稀疏矩阵,但是具有特殊的Toeplitz结构.注意到快速傅里叶变换在求解具有Toeplitz结构的矩阵-向量乘积时的计算量为(?)(MlogM).从而,通过引入快速傅里叶变换,结合稳定的双共轭梯度算法,我们构造出存储量为(?)(M),计算量为(?)(MlogM)的快速算法.与传统算法相比,本文设计的快速算法具有明显优势.