对称性的探索是理解自然奥秘的钥匙，对称性在自然中处处可见并且暗含着自然界各种物质和现象的特性，因此它常常被视为物理学中最基本和最重要的概念。在量子力学和经典力学中，系统的对称性允许人们对该系统的行为做出一般性陈述和预测。基于电动力学与量子力学可类比性，量子力学中的对称特性也有助于理解电磁系统中的现象。而当中心对称被打破的情况下，光与物质相互作用会发生根本性的变化并产生更丰富的物理现象。本文主要从拓扑奇点（topological singularity）和宇称-时间（parity-time，PT）对称的概念出发，解决光学波导系统中光学模式传播损耗的问题，并实现稳定传输。
　　除了频率，波矢，极化和相位外，能带空间的非平庸拓扑特性作为一种新的光子材料的特性，可以表征波函数在其整个能带上的量子化全局行为，已经成为不可或缺的独立自由度，最近十年来为发现光子系统中的新物理现象提供了不同的途径。拓扑光子学作为一个迅速兴起的研究领域，主要利用几何相位和拓扑思想来设计和控制光的行为。由于光子系统的灵活性和多样性，以及相比于凝聚态体系中的可控性和易观测性，光子拓扑行为为模拟奇特的拓扑模型以及以新的方式探索和利用拓扑效应提供了新机会。除此之外，存在于非厄米系统中的PT对称，在宇称（parity，P）和时间反演（time-reversal，T）算符共同作用下是不变的。满足PT对称的非厄米系统的频谱可以是实数的，并且PT对称中的频谱简并非常独特，其哈密顿矩阵不可对角化，同时本征态在该点是完全一样的，因此常被称为奇异点（exceptional points，EPs），这也为实现独特的光学传输模式提供了可能性。
　　本论文面向波导系统中由于结构缺陷或者材料损耗等因素引起的模式不稳定传输问题，主要借助光学系统中的拓扑奇点，例如Dirac点（Dirac point）、Weyl点（Weyl point）及其导致的拓扑保护界面态，以及借助PT对称作用下的多模相互作用导致的PT对称相变和损耗诱导传输为主线展开了以下的研究内容：
　　（1）研究了一维等离激元和介电混合波导系统在中心对称破缺下的界面态的存在条件问题。在拓扑学中，中心对称破缺下的Weyl点是三维倒易空间中的“磁单极子”。而为了简化结构，利用合成空间在低维物理中研究高维Weyl物理是可能的。我们发现一维中心对称结构的两条分属不同模式的能带在特定条件下可以发生线性交叉形成Dirac点，如果Bloch波矢穿过该点时本征态的奇偶对称性交换位置，这个Dirac点就可以在三维合成空间（结合结构的几何维度）中转化为Weyl点来进行研究。通过传输矩阵理论（transfer matrix method，TMM）和有限元数值模拟相结合的方法，研究了在几何维度空间中，中心对称破缺阵列结构与平庸（trivial）等离子体或介电材料交界面上的边界态分布特性。
　　（2）研究了具有不同中心对称破缺特性的波导阵列连接处的界面态的分布特性。我们发现中心对称下Dirac点是带隙处的纯虚数表面波阻抗的符号翻转的过渡点。但是中心对称破缺会打开简并点，此时表面波阻抗在带隙内的分布与中心对称破缺方式和中心对称破缺程度密切相关。在此基础上，具有不同的中心对称破缺特征的波导阵列在不同的拼接方式下支持不同的界面态分布。
　　（3）研究了二维耦合波导系统中增益和损耗的不同分布情况对波导传输模式实部和虚部的影响，及其导致的PT对称，准PT对称和稳定传输模式。我们发现PT对称的形成条件主要依托于解耦模式的对称性，而不单单由折射率实部的对称分布和虚部的反对称分布决定。同时研究了相同模式和不同模式在均匀和不均匀增益和损耗分布下的色散调控，以及稳定光学传输模式的设计。扩展到二维光子晶体系统中，讨论了不同PT对称增益和损耗的分布对多个模式间的耦合作用的调控机理。发现随着增益和损耗空间分布的变化，光子晶体系统能带发生无阈值PT对称相变，同时奇异环（exceptional ring）可以从布里渊区中心或者边界出现。
　　（4）将PT对称引入非厄米SSH（Su-Schrieffer-Heeger）模型中研究拓扑保护的PT对称边界态。如果非厄米的SSH模型的哈密顿量与PT对称互易，在PT对称确定相的带隙中存在增益和损耗的边界态，并且它们分别局域在有限尺寸晶格（边界子单元的耦合常数较小）的两侧。在有限晶格中引入拓扑缺陷，实数本征值的界面态存在于缺陷点处。
　　综上，拓扑光子学相关概念以及PT对称极大地丰富波导系统中的光学现象，对波导系统中光学波导模式的稳定传输以及超材料或者光子晶体中界面传输的应用研究有重要意义。本论文的研究为损耗诱导传输以及拓扑保护边界态的构建提供了灵活的方案。同时，研究结果对理解量子效应，以及其他经典波系统（例如声波和弹性波中）中类似行为有具有一定启发性。在此基础上论文的研究可以很自然的延伸到拓扑系统中的PT对称问题。