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代数组合论是组合数学一个重要分支.结合方案是代数组合论的核心概念之一,由Bose和Shimamoto引入.1973年,Delsarte对结合方案重新进行阐释,将其作为编码理论和设计理论的底空间.自从Bannai和Ito的专著“Algebraic Combinatorics I:Association scheme”出版后,结合方案的发展更为迅速.在此书中,结合方案被称为“没有群的群论”或“组合对象的表示理论”.实际上,这一领域与其他众多分支联系紧密,相互促进,如编码、设计、图论、李代数、有限群、量子群等.结合方案具有较为一般的结构,我们认为其中最重要的是(P&Q)-多项式结合方案(又称带有Q-性质的距离正则图).这种方案不仅本身有趣,而且作为编码和设计理论的底空间也是比较重要的.我们期望对(P&Q)-多项式结合方案进行分类.Terwilliger对分类工作做出了巨大的贡献.他在开篇系列论文中引入了“次成分代数”,现在称其为Terwilliger代数,并且对于“薄”的情形建立了 Terwilliger代数的表示理论,也即Leonard系统理论.这是对Bannai和Ito的专著中Leonard定理的重新阐释,可以使我们从代数的角度分析“薄的”(P&Q)-多项式结合方案的局部结构.Johnson方案是已知的具有“薄的”结构的(P&Q)-多项式结合方案.设T =T(x0)是Johnson 方案 J(N,D)(2D ≤ N)的 Terwilliger 代数,其中x0 是 Ter-williger代数的基本点.出现在标准模分解中的每个不可约T-模W产生了一个Leonard系统LS(W).Leonard系统LS(W)的同构类决定了 W作为T-模的同构类.Terwilliger在论文中未加证明地声称:当d ≥ 1时,(1)Leonard系统LS(W)的同构类由三元组(v,μ,d)决定,其中v为端点,μ为对偶端点,d为直径.(2)三元组(v/,μ,d)满足0 ≤ D-d/2 ≤v≤μ≤D-d≤D,(1)d ∈ {D-2v,min{D-μ,N-D-2v}}.(2)在本文中,我们利用有序对(α,β)表示(v,μ,d),即N≠2D时,我们建立了三元组(v,μ,d)和有序对(α,β)之间的双射,其中非负整数α,β满足0≤α≤ D/2,0 ≤ β ≤ min(D,N-D/2)(4)0≤α +β≤D.(5)我们考虑Johnson方案J(N,D)自同构群在基本点x0的稳定化子H的作用,从群表示论的角度解释两个独立参数α,β的意义.我们证明了Terwilliger关于J(N,D)的断言是完整的,即Leonard系统LS(W)的同构类与三元组(v,μ,d)之间是双射,这里允许d = 0,也即不可约T-模W与三元组(v,μ,d)之间是双射.本文结构安排如下:第一章,介绍(P&Q)-多项式结合方案的历史溯源及研究意义,Terwilliger代数的产生以及发展现状.第二章,介绍一些预备知识,包括结合方案、Bose-Mesner代数、Terwilliger代数、P-多项式结合方案、Q-多项式结合方案、Leonard系统的基本概念和基本性质.第三章,利用群表示论的方法研究一个典型的(P&Q)-多项式结合方案:Johnson方案,给出其Terwilliger代数的具体刻画过程.首先讨论J(N,D)的自同构群的点稳定化子H的作用;其次,在同构的意义下,不可约S-模一一对应于不可约H-模,这里S=HomH(V,V),从而给出S-模的结构,并参数化为(α,β).根据两个关键的定理:不可约S-模作为T-模也是不可约的;以及N≠2D时,S-模参数(α,β)和T-模参数(v,μ,d)之间的映射是双射,最终确定了 Johnson 方案的 Terwilliger 代数 T.