随着高新科技的发展,非线性科学得到了飞速发展。非线性科学问题几乎涉及到所有的自然科学和社会领域,如物理、力学、生命科学和工程技术等。混沌、孤子和分形是非线性科学的三大重要分支,对它们的研究不仅对数学物理理论本身,还是对实际生活中的应用,都有着重要的意义。在本文中,基于符号计算软件Maple和Matlab,我们研究了分数阶混沌系统的同步和非线性孤子方程的精确解这两方面的问题。在混沌同步方面,我们提出了分数阶混沌系统的函数级联同步方法和时滞函数级联同步方法,给出了它们自动推理格式;在精确解方面,我们主要构造了若干重要非线性孤子方程的局域波解。本文的内容由四章构造,详细介绍如下:在第一章中,我们主要介绍了混沌同步和孤立子理论的发展历史和研究现状,同时介绍了国内外专家学者在这些领域的相关研究工作,最后给出了本文的结构安排。在第二章中,我们基于稳定理论,提出了分数阶混沌系统的函数级联同步方法的自动推理格式,研究了分数阶统一混沌系统、分数阶超Chen系统的函数级联同步,并结合数值模拟和图形图像分析,验证了所提出方法的有效性。在第三章中,我们提出了分数阶混沌系统的时滞函数级联同步方法的自动推理格式。我们在稳定理论的基础上,通过设计合适的控制子,实现了分数阶Lü系统的时滞函数级联同步,并利用数值模拟,验证了算法的有效性。在第四章中,通过对N-孤立子解采用长波极限方法和施加复共轭条件,我们构造了2+1维Sawada-Kotera方程和KP方程的局域波解,其中包含N-孤子解、M-lump解、高阶呼吸子解以及局域化的相互作用波解。最后,借助于数值模拟和图形图像分析,研究了这些解的性质和动力行为。最后,我们给出了本文的总结与展望。