分数阶系统由于其非局部特点,可应用于具有记忆特性的黏弹性材料、传导和热扩散等领域。已有有限元方法、有限差分方法、谱方法等求解分数阶方程。为降低计算成本,适用大变形等情况,学者们提出基于点集的无网格方法。本文将构造新的无网格方法和自适应无网格方法求解两类分数阶方程,主要研究成果和创新点如下:第一章介绍分数阶方程、无网格方法的研究背景及意义,通过分析分数阶Ginzburg-Landau方程、分数阶Telegraph方程的国内外研究现状,来确定本文研究目的,给出研究所需基本理论,并简要概括研究的主要内容。第二章构造求解任意有界区域上二维非线性具有Atangana-BaleanuCaputo型变时间分数阶Ginzburg-Landau方程的无网格方法。运用分段抛物插值方法近似分数阶导数,并借助Newton迭代方法将方程转化成离散线性化方程。基于延拓定理,可以利用双三次样条空间的基底作为形函数逼近方程在任意区域上的真解,这使得操作简便,计算速度提高。最后,借助数值算例对比该无网格方法和其他方法的精度。第三章提出自适应无网格方法求解任意有界区域上的二维非线性时间分数阶Telegraph方程。通过对方程的定义区域自适应划分,当真解在某部分变化剧烈,在其他部分变化缓慢时,可以在近似解达到同等精度时降低计算量。基于延拓定理,使用矩形区域上二维再生核空间中的多尺度标准正交基构造方程在任意区域上的近似解。借助双三次样条空间的收敛阶估计分析近似解的收敛阶。最后,通过数值算例论证此方法有效可行。