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常微分方程(Ordinary Differential Equation,简称ODE)的数值求解对现代力学和工程计算具有重要意义。任意高于一阶的ODE初值或边值问题都可以等效地转化为一阶常微分方程组问题,因此一阶常微分方程组的数值求解具有特殊的基础性意义。本文首先建立了一阶常微分方程组Galerkin有限元超收敛计算的单元能量投影(Element Energy Projection,简称EEP)法,进而将基于EEP法的有限元自适应分析方法应用于一阶常微分方程组的数值求解。该法可以高效、可靠地给出逐点满足给定误差限的解答,为开发一种基于有限元法的新型ODE求解器奠定了基础。作为比较,文中又以轴对称荷载下的圆柱壳为例,对基于EEP法的有限元自适应分析方法直接求解混合阶常微分方程组问题进行了研究。全文的主要工作如下:1.提出了一阶常微分方程组的Galerkin有限元超收敛计算的EEP法。数学分析和大量数值试验表明,方法简单高效,其凝聚格式和简约格式可以分别给出全域内任一点上具有最佳超收敛阶和具有强超收敛性的解答。2.对一阶常微分方程组问题,建立了基于EEP法的有限元自适应分析方法。该法理论清晰,算法简洁,可以给出逐点满足给定误差限的解答。典型的数值算例表明,这套自适应算法在误差控制、计算效率等方面均优于通用ODE求解器COLSYS。3.构造了一种具有最佳结点位移超收敛性的轴对称圆柱壳元,对其混合阶常微分方程组建立了有限元求解的EEP超收敛算法。典型的数值算例表明,EEP法凝聚格式可以给出全域内任一点处的位移和应力的具有最佳超收敛阶的解答;EEP法简约格式可以使位移和应力的收敛阶在常规有限元解的基础上提高两阶。4.对轴对称荷载作用下的圆柱壳问题,建立了基于EEP法凝聚格式的有限元自适应分析方法。对于此类混合阶常微分方程组问题,基于EEP法的自适应方法仍可高效可靠地给出逐点满足给定误差限的解答。