关联电子系统中的电子态一直是凝聚态物理中的一个长期的难题。除了部分一维模型,由于关联效应的存在,我们没法给出系统的严格解。因此,在理论上,发展有效的计算方法对理解和处理关联电子系统是非常重要的。在本文中,我们发展了两种处理关联电子系统的方法：奇异模泛函重整化群方法(SMFRG)和有限温重整化平均场方法(TRMFT)。并应用这两种方法,研究了部分关联电子系统中的电子态。在关联电子系统中,一方面系统的能量尺度通常跨越好几个量级；另一方面,诸多失稳通道之间又存在相互耦合和相互竞争,这使得我们分析关联电子系统中可能的电子态极为困难。在这方面,重整化群能同时兼顾到这些问题并给出一个低能的有效模型,因此重整化群是处理关联电子系统中电子态失稳的一个非常重要的方法。在本文中,我们基于Wetterich泛函重整化群的思想,发展了SMFRG方法,并运用SMFRG方法,研究了掺杂石墨烯的电子态,Kagome晶格在范霍夫掺杂下的竞争序问题。最近拓扑绝缘体(TI)和拓扑超导体(TSC)成为凝聚态物理中的一个热点问题,虽然人们成功的预言并发现了TI,但是到目前为止,还没有确凿的证据表明发现了TSC,尤其是本征的TSC。利用SMFRG方法,我们发现在铁磁涨落很强的系统中,有可能诱导出时间反演不变的TSC。在强关联的电子系统中,关联效应的一个重要的效果就是对单粒子能带的重整,在零温下,基于Gutzwiller投影,运用变分理论,我们可以得到重整化平均场理论(RMFT)。然而,很多情况下,我们需要知道的是系统激发态的性质,即有限温下系统的性质。这里,我们通过引入投影熵,把RMFT方法推广到了有限温,即TRMFT。并运用TRMFT计算了Anderson杂质问题,半满Hubbard模型中的金属-绝缘体转变行为。在定性上,我们的结果与动力学平均场方法(DMFT)、数值重整化群(NRG)等方法给出的结果一致。本文的主要内容包括：在第一章中,简要的介绍了关联电子系统,重整化群和泛函重整化群。在第二章中,我们首先导出严格的泛函重整化群方程,然后给出SMFRG方案的过程。在第三章中,我们运用SMFRG方法计算了掺杂石墨烯中的电子态。发现在1/4掺杂下石墨烯将形成手征的自旋密度波(SDW)序,当掺杂浓度偏离1/4时,石墨烯形成手征的d+id序。手征的SDW序和手征的d+id序都是拓扑非平庸的。在手征的SDW中,系统具有量子反常霍尔效应。因此,在1/4掺杂附近,石墨烯要么是Chem绝缘体,要么是TSC。在第四章中,我们运用SMFRG方法研究了关联电子系统中的时间反演不变的拓扑超导电性。发现在铁磁涨落非常强的系统中,很容易形成简并的自旋三重态的Cooper配对。此时,如果系统具有任意小的Rashba自旋轨道耦合(SOC)相互作用,简并的Coopel配对会重新组合成[(p+ip)↑↑,(p-ip)↓↓]的形式,这种配对对应了时间反演不变的拓扑超导。我们的结论可以作为寻找时间反演不变的TSC的一个方向。在第五章中,我们运用SMFRG方法研究了Kagome晶格在范霍夫掺杂下电子的竞争序。我们发现由于矩阵元效应和粒子-空穴对称性的破缺,范霍夫掺杂下的Kagome系统具有一些很奇异的电子态,并且上下两个范霍夫奇点上的相图也不同。在短程的关联效应下,我们发现在两个范霍夫掺杂下,Kagome都具有非常丰富的电子态。在上范霍夫奇点处,Kagome具有铁磁序,元胞内的反铁磁序,扩展的电荷密度序(CBO),电荷密度波序(CDW),s和d+id波超导序,以及扩展的自旋密度序(SBO1)。在下范霍夫奇点处,Kagome具有铁磁序,正交的反铁磁序(SDWo),CDW序,s和d+id超导序,以及另一种扩展的电荷密度序(SBO2)。其中,SDWo,SBO1,2,d+id等序是拓扑非平庸的。与石墨烯中手征的SDW序一样,SDWo,SBO1,2序也具有量子反常霍尔效应。在第六章中,我们首先给出了TRMFT方法的推导,其中最重要的是投影熵的引入,并比较了自由极限下,TRMFT与隶玻色平均场(SBMF)两种方法得到的熵的区别。然后,我们运用TRMFT方法研究了Anderson杂质问题,半满Hubbard模型中的金属-绝缘体转变行为,并与DMFT和NRG的结果做了比较,我们发现在定性上,它们的结论是一致的。在第七章中,我们对全文做了一个总结。在附录中,给出了SMFRG方法中用到的对称性以及自适应的动量点的性质。