经济周期波动以及经济增长问题一直是宏观经济研究中的重要课题和研究热点,对其进行理论和应用研究对于宏观经济政策的制定具有极其重要的指导意义。考虑到经济周期波动中经济变量的记忆性质,本文引入了分数阶导数来刻画这一性质。同时,引入了时滞参数来刻画实际经济系统中不可避免的时间滞后现象。随后,构建了具有生态环境破坏的经济增长模型,分析了不同生态环境治理措施下的效率和作用以及随机扰动对经济系统的影响。论文的主要内容如下:1.研究了窄带噪声激励下具有分数阶导数的经济周期波动模型的稳定性问题。利用多尺度方法,研究了分数阶系统分别在确定性和随机情形下的频率响应方程和稳定性条件。研究发现,经济变量的记忆性质会延长经济系统到达均衡状态的时间;同时,经济变量的时间记忆特性在一定外激频率下增大了系统稳态解的振幅,但是在某些频率下可以降低系统稳态解的振幅,同时在某些外激频率下可以消除非稳态解;并且,随着分数阶导数阶数的减小,振幅的稳态概率密度函数峰值所对应的振幅变大,同时稳态概率密度函数的峰值变小,这意味着经济变量的时间记忆性质加剧了经济系统的波动性,增大了经济系统周期波动的幅度。2.考虑到实际系统中的时间滞后现象,研究了具有随机激励的分数阶时滞经济周期波动模型的随机响应。首先,将随机平均法推广到了带有分数阶时滞的经济周期波动模型,得到了平均后的随机微分方程。通过求解Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程,得到了系统响应的稳态概率密度函数,并且利用蒙特卡罗模拟验证了解析方法的有效性。其次,分析了经济系统的记忆性质、时滞现象、宏观调控强度以及外部随机扰动对系统响应稳态概率密度函数的影响;结果显示,时间滞后现象、系统的记忆性质以及随机扰动都会增大经济系统的波动性,加大系统波动的幅度,而宏观经济调控则提高了系统的稳定性,减小了系统的波动幅度。3.将多尺度方法推广到了窄带噪声激励下的具有分数阶时滞的经济周期波动模型中,研究了系统的主共振响应。在确定性和随机情形下,分别给出了系统的频率响应方程、一阶二阶稳态矩,并利用数值模拟验证了解析方法的有效性。研究发现,分数阶导数阶数的变化以及宏观调控中时滞参数的变化都可以引发系统的随机跳现象,而噪声强度的变化可以诱导稳态概率密度函数发生分岔,这对于宏观的经济调控是十分具有借鉴意义的。4.考虑到经济增长过程中人类经济生产活动对生态环境的破坏,建立了一个具有生态环境破坏的经济增长模型。该模型包含了人力资本、资本存量、自然资源以及生态环境破坏等经济变量,揭示了人类的经济生产活动对生态环境的作用,以及生态环境破坏如何反作用于经济增长过程。针对生态环境破坏下的经济系统临界切换问题,得到了各参数发生临界切换的临界值。研究了两种当下施行的生态环境治理措施的效率和成本。研究结果表明,只有绿色的生产方式才可以使经济持续稳定的增长,如果放任生态环境破坏,经济系统将在短时间内发生不可逆转的崩溃。随后,分析了系统初值以及外部随机扰动对经济保持平稳增长的影响,得到了相应的经济系统发生临界切换时各参数的临界值。5.在具有生态环境破坏的经济增长模型中引入分数阶导数,考虑了经济变量的记忆性质,得到了分数阶的具有生态环境破坏的经济增长模型。首先,分析了经济系统均衡状态的稳定性质,得到了经济变量含有记忆性质条件下的经济稳定增长的重要经济参数的稳定区间和分岔性质。研究发现,分数阶导数的变化可以改变系统均衡状态的稳定性质。其次,研究了随机扰动对系统均衡状态的影响,发现相比于确定性系统,随机扰动会导致临界切换的提前发生。