当今,计算已成为继理论和实验之后的第三种不可或缺的科学研究方法。并且在许多情况下,由于科学计算不受外部因素和实验器材影响的灵活性,它能够最大程度以最小的代价获得与理论和实验相当的结果。这个使得计算在当今科学领域占有非同一般的统治地位。反应扩散方程是一类重要的偏微分方程,在物理、生物、材料以及社会科学中都有广泛的应用。并且,反应扩散方程有着比其他偏微分方程更加好的特性,例如极值原理、比较原理、不变集存在以及能量衰减等物理特性,这些性质在数学分析和数值模拟中也是最基本的,往往是不能忽视的。因此我们需要研究和构造数值格式来满足这些物理特性。本文的主要研究内容包括:一、半线性抛物方程的保上界积分因子法。众所周知,强稳定性积分因子龙格库塔方法与传统的强稳定性龙格库塔方法相比,在时间演化过程中,避免了线性算子的时间步长限制。然而在遇到比强稳定性更弱的保上界性时,却由于非线性算子带来的时间步长限制,显得不那么有效。因此我们想设计一种无时间步长限制的保界格式。通过引入稳定化系数,我们得到一种显式稳定化积分因子龙格库塔方法。顾名思义显式稳定化积分因子龙格库塔方法是在龙格库塔方法的基础上,加入严格单调递增的序列的充分条件,保证数值解的有界性。通过优化方法,我们得到了三阶格式,并且针对每一个提出的方法,验证了它们解的保界性。数值实验中表明严格单调递增序列是一个充分条件,验证了每一个方法的收敛性,并且几个针对性实验说明了所提出的方法确实满足保上界性。二、曲面反应扩散方程的保极值虚拟元方法。虚拟元方法的主要特征是它能看成是经典有限元方法的推广,它最大的优势在于可以处理多边形单元。虚拟元方法已经成功应用到一大类方程当中,然而将虚拟元方法推广到曲面上仍然是一个开放性问题,其中作者Frittelli提出了一种曲面虚拟元方法,但硬性要求是离散化曲面是一个平的逼近,即单元上的网格节点都要处于同一个平面。这个方法很容易构造虚拟元空间以及相应的收敛性分析,平的离散化曲面对于一般的曲面来讲却难以实现。为了克服这个困难,我们设计出一种基于Voronoi网格的局部切向提升虚拟元方法,这种方法结合了曲面虚拟元方法和局部切向提升法。这样不平的网格很容易投影到局部切向空间构造虚拟元空间。基于H1投影和L2投影,我们得到了相应离散双线性形式的有界性,数值模拟验证了所提方法的有效性,并且可以结合质量集中方法保证反应扩散方程的极值原理。三、曲面Stokes方程的能量耗散径向基函数方法。求解Stokes方程遇到的最大困难是由离散的inf-sup条件引起的速度和压力耦合。为此许多学者提出了很多方法,主要可以分为两大类。一种方法是投影方法,这种方法的主要思想是利用压力将中间速度域投影到不可压速度域,然而这种方法要求特定的网格,中间速度和压力的边界条件难以符合实际的边界条件。另一种方法是压力Poisson方程,主要是利用Helmholtz分解。通过分解,可以得到一个等价方程,其中速度可以看成一个演化变量,压力变成一个隐函数。这种方法使得速度和压力解耦,能够避免离散inf-sup条件的限制。本文在此基础上,利用曲面Helmholtz分解,将曲面Stokes方程转化为等价方程,并对等价方程中的无散度速度采用无散度径向核函数插值,得到了稳定性和收敛性分析,理论分析和数值实验表明了方法的有效性,并且验证了曲面Stokes方程的动能是单调递减的。