近年来,分数阶微积分和分数阶微分方程为建模和仿真多物理场中的现象提供了有力工具,成为科学与工程领域的一个热点研究课题.本文的主题是研究非线性分数阶微分方程的数值方法及其收敛性和守恒律.基于不同的方程类型,论文主要涵盖了求解时间分数阶非线性微分方程的有限元方法、求解空间分数阶微分方程的有限元方法以及求解空间分数阶微分方程的有限差分方法.整篇论文由如下六章内容构成:第1章介绍分数阶微积分和分数阶微分方程的发展历史及其在科学与工程领域中的应用、分数阶微分方程的有限差分方法和有限元方法、以及本文所考虑的三类分数阶方程的数值方法研究现状,并给出本文的研究动机和工作概要.第2章回顾几种分数阶导数的定义、它们的关系和基本性质,引入分数阶导数空间、分数阶Sobolev空间以及相应的一些性质和后文将要用到的引理.第3章研究含有三次方非线性项的时间分数阶Klein-Gordon方程.我们采用Lyu和Vong（2018）提出的L2-1σ公式的加权组合离散时间、Galerkin有限元方法离散空间,对非线性项按显式方式处理,获得线性隐式形式的全离散格式.由于非线性项不满足全局Lipschitz条件且在格式中是显式项,所以难以获得单独的数值解上界估计.我们利用数学归纳法同步估计数值解的误差和上界的技巧,结合能量方法的基本思想证明格式的收敛性.该格式具有二阶时间精度,优于基于L1公式的全隐和线性化格式.第4章研究非线性耦合型空间分数阶Schr?dinger方程.采用有限元方法进行空间离散,Crank-Nicolson（CN）差分格式离散时间导数,建立全离散格式.证明格式能同时保质量和能量,且其离散质量和能量与连续系统情形相一致.随后,我们研究全离散系统的唯一可解性,分析格式的无条件收敛性（即,误差分析是在不带有任何时空步长比值限制的条件下得到的）,并给出数值解的L2-模和L∞-模误差估计.最后,数值试验验证了理论分析结果.第5章研究空间分数阶Zakharov方程.我们采用分数阶中心差分格式离散分数阶Laplacian算子、中心差分格式离散整数阶导数,对耦合系统的第二部分采用显式方案进行离散,得到一个半显式的全离散差分格式.利用Chang等（1995）提出的技巧证明该格式能够保持原系统的质量和能量守恒性,并在多种范数下证明数值解的有界性和收敛性.最后,我们给出数值算例验证格式的守恒性以及收敛性结果.第6章,我们对全文进行总结并展望了今后的工作.