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生物种群的持续生存是数学生态学中捕食理论及其相关课题的一个重要问题,并且还将继续是生态学和数学生态学中一个重要问题之一,因为这个问题是广泛存在的问题。人们对于捕食者与食饵之间的生存关系有大量的研究,很多不同种类和类型的捕食者──食饵模型被研究。
本文主要讨论了两类具有时滞的两种群捕食者──食饵模型,利用Mawhin的重合度理论建立了这两个系统正周期解存在的充分条件,这意味着在捕食者与食饵这两类生物种群之间存在持续生存的周期平衡点。
最初的反映捕食者与食饵之间相互作用的模型之一是Lotka在1925年建立的,随后很多研究者研究了下面的模型:
x’=kx(1-bx)-p(x)y
y’=y(-δ+YP(x))
这里x(t)和y(t)分别表示食饵和捕食者的密度,p(x)表示功能性反应函数,当p(x)=μ(1-e<’-cx>)时,上面的模型叫做Ivlev型捕食者──食饵系统,被很多研究者研究,但这些文章多研究系统的极限环的存在和相图的数值计算。
对于标准的Lotka—Volterra型捕食者──食饵系统已有大量的研究工作,同时注意到,在种群的生态环境中,扩散经常发生,也就是说种群能够在两个斑块中扩散。文章首先建立了一个非自治的Lotka—Volterra扩散模型,文章也研究了这种扩散模型。随后Lotka-Volterra扩散模型得到了广泛的研究。
另一方面,人们普遍认为在种群间相互作用中时滞是不可避免的,较长的时滞可能会破坏平衡点的稳定性等。近年来已有大量的文献等研究了时滞对生物种群的渐近性态的影响。
本文在前人的基础上,对以往的系统进行了改进,在两个模型中既考虑离散时滞又考虑分布时滞,并且在第二个模型中考虑到扩散的重要性,使得模型更一般,更贴近实际,更具有实际意义。第二章我们考虑具有离散时滞和分布时滞的Ivlev 型二维的捕食者──食饵系统,第三章我们讨论既具有离散时滞又具有分布时滞的非自治的两种群Lotka-Volterra型三维的捕食者──食饵扩散系统,研究内容是渐进的也是新的。