【摘 要】
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现实世界中,随机因素是客观存在的,而且一个系统现在的状态往往与过去历史紧密相连.因此在考察一个动力系统的长期行为时,随机延迟微分方程与随机泛函微分方程被作为随机动力系统的重要模拟工具,分别反映了在离散时滞与分布时滞的情形下,系统会有怎样的渐近性质.迄今为止,关于这两种方程各种渐近性质的研究已积累了丰富成果.然而,在真实的随机微分系统中,同时出现离散时滞与分布时滞的情形却是自然而常见的,这就需要将两
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现实世界中,随机因素是客观存在的,而且一个系统现在的状态往往与过去历史紧密相连.因此在考察一个动力系统的长期行为时,随机延迟微分方程与随机泛函微分方程被作为随机动力系统的重要模拟工具,分别反映了在离散时滞与分布时滞的情形下,系统会有怎样的渐近性质.迄今为止,关于这两种方程各种渐近性质的研究已积累了丰富成果.然而,在真实的随机微分系统中,同时出现离散时滞与分布时滞的情形却是自然而常见的,这就需要将两种情况统一考虑,于是形成了本文所考虑的混合时滞的随机微分系统.关于混合时滞随机微分方程的文献并不多见,对于这类系统的性质更缺乏系统的研究.为尽可能弥补这一缺失,本文在首先考察了整体解的存在唯一性的基础上,利用Borel-Cantelli引理、半鞅收敛定理、指数鞅不等式等多种概率工具,分别研究了混合时滞随机微分系统解的有界性、稳定性和轨道增长.有界性与稳定性无疑是一个系统最基本也是最有研究价值的渐近性质.在本文中,我们对混合时滞随机微分模型的这两类性质开展研究,获得具多项式增长系数的方程解的有界性和稳定性新结果.对轨道增长性质的研究,本文所考虑的是系统的增长上限,该性质反映了系统至多以什么速率增长,对于该问题主要是关注上限的具体大小是否在人们允许的范围之内.为了说明本文理论结果的有效性与可行性,我们在后三章中研究了随机Kolmogorov系统、随机Lotka-Volterra系统和神经网络系统.前两者无疑是生态学领域的重要随机模型,用来模拟生物种群规模、结构随着时间和自然环境因素改变而有可能发生的变化.本文首次考察了在混合时滞情形下随机Kolmogorov系统和随机Lotka-Volterra系统的非爆破性、矩有界性和轨道增长.神经网络模型最初由Hopfield（1982）开创.经过几十年的发展,神经网络模型现在不仅是反馈动力系统的理论模型,同时也是并行计算所需的实际工具.在计算过程中,网络存在大量的随机扰动,所以知道随机扰动如何影响网络是十分重要的,特别令人关注的一点是网络能否在随机扰动下继续保持稳定或者丧失稳定性.因此混合时滞下随机神经网络模型具有更为广泛的应用价值,其稳定性将是本文最后要讨论的内容.本文通过控制方程系数f和g的增长来实现对上述渐近行为的探讨,所得到的判别法以不等式形式或矩阵形式给出.与已知文献不同的是,借助Lyapunov函数∑i=1n ci|xi|p,M-矩阵技术在本文中被大量而系统采用,在此基础上建立的稳定性判别法具有高度便用性,不含任何待定的未知矩阵或参数.将这些判别法与已知的随机延迟微分方程和随机泛函微分方程的有关结论进行比较,可以看出我们的结论已包含了原有的一些结论做为特例,同时原有的方法也得到了推广和改进.当然本文所讨论的范围有限,对于混合时滞随机微分系统还有许多值得深入探讨的问题.
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