【摘 要】
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受Gabor分析中Ron-Shen对偶原则及Wexler-Raz双正交关系的启发,2004年,Casazza,Kutyniok与Lemmers首次在一般Hilbert空间中引入了R-对偶的概念.到目前为止,R-对偶的研究已远远超出Gabor分析的范围,在数学上有其独立的意义,已成为抽象空间标架理论的一个重要研究方向.另一方面,过去三十余年,直线上的小波与Gabor标架的研究已取得丰硕的成果,而半直
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受Gabor分析中Ron-Shen对偶原则及Wexler-Raz双正交关系的启发,2004年,Casazza,Kutyniok与Lemmers首次在一般Hilbert空间中引入了R-对偶的概念.到目前为止,R-对偶的研究已远远超出Gabor分析的范围,在数学上有其独立的意义,已成为抽象空间标架理论的一个重要研究方向.另一方面,过去三十余年,直线上的小波与Gabor标架的研究已取得丰硕的成果,而半直线上具有优美结构的标架的研究鲜见报道.这是因为半直线R+关于加法作不成一个群,从而半直线平方可积函数空间L~2（R+）不容许非平凡的小波与Gabor系;L~2（R+）在Fourier变换下不封闭.本文分两部分:Hilbert空间R-对偶理论;半直线上的一类伸缩不变系.第一章是绪论部分,介绍了研究背景与本文的主要结果.第二章研究弱R-对偶及其对偶关系.我们引入了弱R-对偶的概念,并且研究了弱R-对偶的对偶原则.证明了一个标架（Riesz基）的弱R-对偶是标架序列（标架）;用弱R-对偶刻画了两个标架的等价（酉等价）性;给出了弱R-对偶的正则对偶的一个明确表达式.第三章是第二章的一个推广,我们引入了广义弱R-对偶概念,证明了广义弱R-对偶具有与弱R-对偶类似的对偶原则,但一般标架的广义R-对偶的正则对偶未必有类似于第二章的明确表达式.我们给出了广义弱R-对偶的正则对偶的一个系数表达.第四章研究弱g-R-对偶及其对偶关系.我们引入了弱g-R-对偶的概念,证明了一个g-标架（g-Riesz基）的弱g-R-对偶是g-标架序列（g-标架）;利用弱g-R-对偶刻画了两个g-标架的等价（酉等价）性;用为逆算子给出了弱g-R-对偶的正则对偶的一个表达式.第五章研究HS-R-对偶及其对偶关系.HS-标架比g-标架更一般,我们引入了HS-R-对偶的概念,建立了HS-R-对偶的对偶原则,即B（H,C2）中的一个序列是HS-标架（HS-标架序列,HS-Riesz基）当且仅当它的HS-R-对偶序列是一个HS-Riesz序列（HS-标架序列,HS-Riesz基）;利用HS-R-对偶刻画了HS-对偶;证明了对任意给定HS-标架,在其所有HS-对偶标架中,只有正则对偶的HS-R-对偶具有最小范数.第六章是关于R-对偶的一个注记.我们知道g-标架是标架概念的推广,一个自然的问题是g-R-对偶是否是R-对偶的推广.本章给出了一个否定的回答.我们引入了新R-对偶概念,证明了g-R-对偶是新R-对偶（而非R-对偶）的推广,新R-对偶具有类似于R-对偶的对偶原则.类似于第二章,我们引入了新弱R-对偶概念,并猜想弱R-对偶与新弱R-对偶不遵循同样的对偶关系,并将不遵循同样的对偶关系问题转化为一个算子理论问题.第七章研究L~2（R+）中的一类伸缩不变系.我们给出了FGD-系满足标架上不等式（下不等式）的必要条件,证明了任何FGD-系都不可能是L~2（R+）的标架;给出了MD（Ψ,a）作成L~2（R+）中Riesz基（标架）的一个充分条件;给出了主要结果的一些例子.
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