约束矩阵方程的最小二乘解被广泛应用于结构设计,系统识别,线性控制等很多领域,研究约束矩阵方程最小二乘解有关秩的问题,对于这一领域的理论和实际应用都有非常重要的意义.本篇硕士论文研究的问题如下:问题1:给定A∈C^m×p,B∈C^m×n,设矩阵X∈S Cp×n,使得∥AX B∥=min.（1）确定最小二乘解X的最大秩M和最小秩m;（2）分别给出具有最大秩M和最小秩m的最小二乘解的表达式;（3）若整数m <t <M,给出秩为t的最小二乘解.问题2:给定矩阵A∈C^m×n, B∈C^p×q, C∈C^m×q,设矩阵方程AXB=C的最小二乘解集合为S,即S={X∈Cn×p|∥AXB C∥=min},（1）求集合S秩的范围[m,M];（2）若t∈[m,M],设St S表示S中秩为t的元素集合,求St中元素的一般表达式.问题3:给定A∈R^m×n,B∈R^m×m,设对称矩阵X∈SR^n×n,使得AXAT B=min.（1）确定对称最小二乘解X的最大秩M和最小秩m;（2）分别给出具有最大秩M和最小秩m的对称最小二乘解的表达式;（3）若整数m <t <M,给出秩为t的对称最小二乘解.主要研究成果如下:1,当S取Cp×n时,利用矩阵的奇异值分解, QR分解和分块矩阵秩不等式相关理论得到了最大秩,最小秩和任意秩的解集合.2,当S分别取SR^n×n, ASR^n×n, BSR^n×n, KSR^n×n时,首先利用分块矩阵的性质,矩阵的奇异值分解和相关秩的理论对矩阵方程AX=B的对称,反对称,双对称,次对称最小二乘解的秩进行了讨论,进而得到矩阵方程AX=B的满足秩条件下的对称,反对称,双对称,次对称最小二乘解.3,对于问题2,利用矩阵的奇异值分解,初等变换和相关秩的性质等得到了秩的范围和St中元素的一般表达式.4,利用对称矩阵的性质和矩阵的奇异值分解等得到问题3的最大秩,最小秩和满足秩条件下的对称最小二乘解.