量子点是一种重要的零维半导体材料,在三个空间维度上都受到强烈的限制,形成离散的能级,类似于自然界中的原子或分子,展现出许多不同于宏观体材料的物理性质,在非线性光学、医药、功能材料、自旋电子学及量子信息领域有广阔的应用前景,近年来得到人们的广泛关注和研究。本文从拓扑边缘态和输运性质两个方面对半导体量子点的物理性质进行理论研究:(1)拓扑绝缘体是一种新颖的物质状态,它在体材料内部为具有非平庸拓扑性质的绝缘体,而在表面上存在无能隙的表面态,近年来受到人们的广泛关注。这些新奇的拓扑边缘态的存在受到非平庸拓扑及时间反演对称性的保护,不会被保持时间反演对称性的扰动破坏(只要带隙不关闭),并具有各种潜在应用。这些应用都依赖于拓扑绝缘态对外部扰动不敏感这一重要性质,但近年来关于这一点的定量研究非常少。本论文定量研究了半导体量子点中最常见的扰动-电场-对拓扑绝缘态的影响,定量证明拓扑绝缘体边缘态比传统量子点中的量子受限态更不容易受到外电场扰动的影响,从而建立了拓扑绝缘体量子点相比其它量子点在应用上的优势。我们还进一步研究了由磁掺杂驱动的拓扑绝缘体量子点向量子反常霍尔绝缘体量子点的转变,发现拓扑相是突变的,但体态向边缘态的转变是缓变的。在相变点附近,边缘态的局域化很差,远离相变点(增大反常带隙)可以使边缘态更加局域化,更好地抑制背散射,从而有利于边缘态的各类应用。(2)量子点独特的输运性质是量子点的许多应用的物理基础。通过量子点的移动来实现电子输运,即量子点shuttle,是量子点输运研究的重要方向之一,近年受到广泛关注。然而量子点shuttle中相互作用电子的局域化还没有被系统研究过,特别是有相互作用的电子局域化的解析条件还不清楚。我们推导了三量子点和量子点shuttle中两电子局域化的解析条件,发现库仑相互作用会增加动力学局域化,而量子点shuttle的机械振动会显著影响局域化。该结论可以用于纳机电系统中控制电子的输运和动力学。本论文的相关研究涉及半导体的能带、半导体纳米结构的电子态的概念,因此本论文首先简要介绍紧束缚模型(它能形像地给出能带的形成)和有效质量理论(描述半导体纳米结构电子态的常用工具)这两个重要工具,接着介绍拓扑绝缘体及半导体量子点的基本概念,以及我们对拓扑绝缘体量子点中的拓扑边缘态对电场的响应的研究,然后介绍交流场驱动下三量子点和量子点shuttle的动力学局域化的研究,最后是总结和展望。本文共分五章,具体内容如下:第一章为引言,简述了能带理论和拓扑绝缘体的研究背景及其进展。第二章是拓扑绝缘体边缘态对全局电场的响应及其鲁棒性。边缘态的存在是拓扑绝缘体的非平庸拓扑的重要表现形式,也是拓扑绝缘体应用的重要方面。我们首次定量研究了HgTe量子点的拓扑边缘态对外加面内电场的定量响应,量化了拓扑边缘态对全局电场的鲁棒性,并通过数值计算证明拓扑边缘态比传统的体态更加具有鲁棒性。第三章主要是研究反常量子霍尔绝缘体的量子点中的电子态。第四章利用Floquet理论研究了交流场驱动下三量子点和量子点shuttle的动力学局域化,其中三量子点中两电子的局域化会受到库仑相互作用的影响,库仑相互作用的引进会增加动力学局域化,以及量子点shuttle的局域化受机械振动的影响,并推导出了解析条件。第五章是对前面工作的总结以及之后工作的展望。