本文主要围绕对称微分算子的扩张问题展开研究.　　微分算子从本质上来说是无界的可闭线性算子，无界闭的线性算子的定义域一定不能是全空间，因此微分算子定义域的选择始终是微分算子研究中的一个十分重要而困难的问题.在对称微分算式给定的前提下，对所研究的算子提出的具体要求最终体现在对定义域的限制上.定义域不同的微分算子，其谱分解，特别是离散谱会有很大不同.在这些限制中，对称性、自共轭性、耗散性、保界性是其中最为重要的几种.由于最小算子是对称算子，对称算子通常是进一步研究其它类型算子的基础，其它类型的算子可以通过对称算子定义域的扩张，或其最大算子定义域的限制而得到，对称微分算子的扩张问题(即最大算子的限制问题）一直都是微分算子理论中重要且活跃的问题.本文将围绕微分算子定义域选择这一重要课题，应用辛几何、实参数解刻画等最新研究手段，着重讨论对称微分算子的自共轭扩张、耗散扩张、Friedrichs扩张的定义域描述以及不连续的Sturm-Liouville算子的特征值和特征函数系的完备性问题.　　1999年W.N.Everitt和L.Markus首次用辛几何的方法，通过辛空间中的完全Lagrangian子空间给出对称微分算子自共轭扩张的完全描述（我们称之为EM刻画）.最近几年王爱平，郝晓玲，孙炯和A.Zettl通过构造极限圆(Limit-Circle)解刻画了对称微分算子的自共轭扩张（我们称之为LC刻画），并通过实参数解的性质和正则逼近，研究了奇异微分算子谱的离散性。在此基础上，本文考虑了以下问题:自共轭扩张的EM刻画和LC刻画这两种截然不同的方法之间有什么联系？辛几何的方法作为描述自共轭扩张的有效方法，能否刻画对称算子的其它扩张例如耗散扩张？耗散扩张能不能用微分方程实参数解来刻画？作为一类特殊而重要的自共轭扩张，Friedrichs扩张的LC刻画应当是怎样的？　　针对上述问题，本文首先讨论了实参数解刻画自共轭域的辛几何描述.我们使用微分方程实参数极限圆解刻画了辛空间中的完全Lagrangian子空间，运用实参数极限圆解从辛几何的角度给出自共轭域的完全解析描述，利用实参数极限圆解研究由算子定义域构造的复辛空间的完全Lagrangian子空间的分类:严格分离、完全耦合、混合，给出了属于不同分类的充分必要条件，并且尝试使用辛几何的方法研究微分算子的谱问题，给出实参数λ是自共轭扩张的点谱以及实参数解是相应的特征函数的一个必要条件.　　其次我们从辛几何的角度和微分方程实参数解LC刻画的全新角度，研究了对称算子的耗散扩张(dissipativeextensions)问题.我们引入复辛空间的耗散（累聚）子空间、最大耗散（最大累聚）子空间、严格耗散（严格累聚）子空间等新的概念，从辛几何的角度研究了有限维复辛空间的耗散子空间的性质，得到了类似GKN-EM定理的结论:对称算子的所有（严格）耗散扩张与由算子定义域构造的复辛空间的所有（严格）耗散子空间之间存在一一对应.通过以微分方程的实参数极限圆解作为复辛空间的一组基，给出了一组最大耗散子空间和最大累聚子空间的具体描述，并证明它们是复辛空间的一个辛正交直和分解.　　之后本文运用微分方程的实参数平方可积解刻画自共轭域的理论，研究了Sturm-Liouville算子的Friedrichs扩张的描述问题.我们直接从Friedrichs扩张的定义出发，通过构造适当的实参数极限圆解，统一刻画了正则和奇异情形的Sturm-Liouville算子的Friedrichs扩张问题.我们从最小算子（对称算子）加上极限圆解在能量空间扩张的角度，给出了Friedrichs扩张的解析描述，证明方法更贴近Friedrichs扩张的精髓.最后我们用谱分析的经典方法和算子理论研究了边界条件中带有谱参数的不连续Sturm-Liouville算子的特征值问题和特征函数系的完备性问题.　　本文共分六章.第一章绪论，说明了本文所研究的问题的背景及本文的主要结果和创新点;第二章简单介绍了本文所用到的基本概念及重要的引理;第三章从辛几何的角度考虑对称算子的自共轭扩张的实参数解刻画问题;第四章从辛几何的角度和微分方程实参数解LC刻画的角度，研究了对称算子的耗散扩张问题;第五章运用实参数极限圆解刻画了Sturm-Liouville算子的Friedrichs扩张域;第六章研究了具有转移条件且边界条件含特征参数的Sturm-Liouville算子的特征值和特征函数系的完备性问题.