三维点云的特征分析是计算机视觉相关领域的研究热点,也是三维点云数据处理的核心技术。现有的三维点云特征分析大多针对结构相对简单的刚性物体,而现实生活中的三维点云变幻多姿,影响其特征描述能力的因素纷繁复杂。因此,研究一些适用性广、鲁棒性强的特征表示方法,满足实际应用中不同层次的需求,是三维点云特征表示的重点和难点。本文从持久同调和共形映射两个角度分别研究复杂三维变换下的点云特征表示方法,主要内容包括:首先,研究了散乱三维点云拓扑关系的构建方法,为后续的几何与拓扑特征分析提供了结构化的三维数据。分析了点云拓扑构建过程中顶点与边权的定义方式以及嵌套层级的确定等关键问题,提出了一种基于最小生成树的多尺度表示方法,为三维点云建立了嵌套复形的拓扑结构。相对于依赖阈值的单尺度方法,通过该多尺度方法建立的拓扑结构所蕴含的信息更为丰富,性能更为稳定,实用性也更强。其次,研究了持久同调下点云的拓扑特征表示方法。在第零维贝蒂数的基础上引入了连通分支聚合成本,提出了一个新颖的集成的持久性特征(IPF)以及由此凝练出的单变量特征SIP,在理论上对贝蒂数进行了拓展,更为完整地表征了嵌套复形的空间演化过程,可以用于度量复杂点云的拓扑结构变化。实验结果表明,所提出的拓扑特征SIP比基于图论的特征具有更好的统计性能,可能成为阿尔茨海默病的潜在成像生物标志物。再次,研究了双曲黎奇流下的共形映射方法,提出了双曲几何空间中共形结构度量的一个通用框架与算法,使得任意亏格的三维点云都可以一致性的共形映射到双曲庞加莱模型中,通过计算基本域在泰希米勒空间中的坐标,构建了双曲共形特征描述子。实验结果表明,所提出的特征描述子不仅对奇点选择不敏感,而且有效的提高了人脸表情识别的性能。最后,研究了持久同调与共形映射相结合的特征分析方法,提出了一种基于持久同调和共形映射的混合几何拓扑特征描述子,并设计了基于两级特征选择的分类学习算法。在阿尔茨海默病的结构与功能磁共振成像中对所提出的特征描述子进行了分类学习,结果表明,相对于持久同调和共形映射下各自的特征,所提出的混合几何拓扑特征具有更好的分类性能。