1982年,Hamilton在他的开创性论文中创立了Ricci流,从此之后,Ricci流就成为学习黎曼几何性质的强大工具。Perelman继续Hamilton的工作,利用Ricci流最终解决了Poincaré猜想,请见Perelman的文章[79,80,81].除此之外,利用Ricci流,还给出了黎曼曲面单值化定理新的证明(16,49,23],解决了具有正曲率算子的紧流形的分类[2],和著名的1/4-pinching定理[1],等等。Perelman的文章[79,80,81]中,有很多断言,但没有证明或没有提供详细证明。例如,[79]里的推论9.3,Perelman只提供了一个证明的重点,后来L.Ni利用Perelman的诱导距离的性质,第一个给出了这个推论的详细证明。最近,Chau,Tam和余在他们的文章[29]中也给出了这个推论的另一个详细证明,他们主要通过利用基本解的估计。另一方面,对于具有非负Ricci曲率的闭流形,L.Ni在2004年已经证明了一个类似的结果。　　 本文第三章,按照Chau,Tam和余的方法,我们得到了本论文的第一个主要定理。定理A.对于某个T>0,假设(M,g(t))是M×[0,T]的一个超级Ricci流,即满足()/()Tgij=hij≤Rij,(T=T-t),还假设满足以下条件：⑴第二Bianchi恒等式；⑵divh(·)=gradH；⑶热方程型不等式。这里H=gijhij,我们还假设｜▽kRm｜和｜▽kh｜(k=0,1,2)是有界的。假设p是M上的固定点,Z(p,T；x,t)是共轭热方程的正基本解,中心为(p.T),即,limt→T Z(p,T；x,t)=δp。令u(x,t)=Z(p,T；x,t),且u=e-f/(4πT)n/2。以上定理的证明关键点是对于满足以上条件的超级Ricci流的正基本解具有相同的估计以及我们在以上条件下可以导出一个好的“单调性”公式。　　 本文第四章,我们主要是对Perelman的断言之一提供了详细证明。定理B.令(Mk,gk(t),xk)是一系列点状Ricci流()/()tgij=-2Rij的光滑解,这里的Mk具有有界曲率并且(Mk,gk(t))在t∈[0,T]上是完备的。假设对于某个K>0｜Rmk｜(x.t)≤K,()(x,t)∈Mk×[0,T],k∈Z+,和{(Mk,gk(t),xk)},t∈[0,T],在Cheeger-Gromov意义下光滑收敛到Ricci流的一个光滑解(M∞,g∞(t),p),l∈[0,T]。定义Mk×[0,T)上的共轭热方程,(-()/()t-△+Rk)u=0,的极小正基本解uk满足,当时间接近于T时,收敛到以xk为中心的δ-函数；也就是说uk是(-()/()t-△+Rk)u=0上极小正解且 limt↑T uk(.,t)=δxk。那么存在Ф*k(uk)的一个子列在M∞×(0,T)上的每一个紧子集上一致收敛到M∞×(0,T)上共轭热方程的一个极小正基本解u,这个基本解满足当时间趋近于T时收敛到以p点为中心的δ-函数。这个定理的证明主要是利用了[29]中正基本解的相关估计。　　 本文第五章,我们给出了在Ricci流下的数量曲率的一个局部下界估计和Ricci solitons的一些性质。首先,对应于陈兵龙的关于满足Ricci流的数量曲率的整体下界估计的结果,我们得到了一个局部的结果,通过利用Yokota在文章[99]中的方法。这是本论文的第三个主要定理。定理C.对于任意的0<ε<2/n。假设(Mn,g(t)),t∈[α,β]是Ricci流的一个完备解,给定M上的p点,那么存在只依赖于p和度量g(t),t∈[α,β]的常数C(p)和常数G,使得当c≥C(p)时,对于x∈Bg(t)(p,c),t∈(α,β]就有 R(x,t)≥-Be2AB(t-α)+1/e2AB(t-α)-1成立,这里A(ε)=2/n-ε,B(ε)=3C/2√ Aεc2。由这个定理可以导出两个推论。第一个是数量曲率的整体下界估计。推论C1.假设(Mn,g(t)),t∈[α,β],是Ricci流的一个完备解,则对于任何的t∈(α,β],有 R≥-n/2(t-α)。由于ancient solution是Ricci流的一个特殊解,具有t∈(-∞,0]。从而我们有下面的性质。推论C2.假设(Mn,g(t)),t∈(-∞,0],是Ricci流的一个ancient solution,则对于任何的t∈(-∞,0],有、R≥0下面,我们要学习梯度Ricci solitons的一些性质。在很多人对Ricci solitons的学习之后,我们已经知道了很多Ricci solitons的性质。对于黎曼流形(Mn,g)和Mn上的光滑函数f以及常数ε∈IR,如果满足 Rij+▽i▽jf+ε/2gij=0.我们则称(Mn,g,f,ε)是梯度Ricci soliton。称f为势函数。如果ε<0,ε=0,或者ε>0,我们称g分别是收缩的,稳定的,或者扩张的。下面的性质是陈兵龙在[34]中的一个性质的直接结果,但我们利用Ricci soli-tons的方程给出了一个直接的不同于陈兵龙的证明方法。定理D.假设(Mn,g,f,ε)是一个非紧的完备梯度Ricci soliton。有下列性质(1)如果梯度Ricci soliton是收缩的,则R≥0。甚至,如果数量曲率在某点等于0,则(Mn,g)等距同构IRn。(2)如果梯度Ricci soliton是稳定的,则R≥0。甚至,如果数量曲率在某点等于0,则(Mn.g)是Ricci平坦流形。(3)如果梯度Ricci soliton是扩张的,则R≥-nε/2等。甚至,如果数量曲率在某点等于-nε/2,则(Mn,g)是Einstein流形。对于收缩Ricci soliton具有最大欧式体积增长,已经分别被曹怀东和Zhou[32],Munteanu[66]得到。如果假设数量曲率有一致下界,我们将得到收缩Ricci soli-ton具有最多rσ(σ0的收缩梯度Ricci soliton。那么给定0∈Mn,存在一个只依赖于δ,o和Ricci soliton本身的常数C<∞,使得对所有的r≥0,都有 v(B(o,r))≤C(r+1)n-2δ。由这个定理很容易推出Carrillo和L.Ni[26]中的一个结果。推论E1.任意具有非负Ricci曲率的非平坦的收缩梯度Ricci soliton一定有V(g)=0。注意V(g)是在具有非负Ricci曲率的流形上定义为 V(g)=limr∞VolB(p,r)/rn。现在,3维收缩梯度Ricci solitons已经完全被分类了。　　 本文最后一个主要定理是证明了Petersen和Wylie[83]中的某个定理的一个条件在收缩Ricci soli-ton下自然成立。定理F.假设(M,g,f,-1)是完备收缩梯度Ricci soliton,则有 ∫M｜Ric｜2e-fdμ<∞.甚至,有∫M｜Ric｜2e-fdμ=1/2∫MRe-fdμ。推论F1.假设(M,g,f,-1)是具有W=0的n(n≥3)维完备收缩梯度Riccisoliton,则M一定是Sn,IRn或Sn-1×IR的一个有限商空间。特别地,3维收缩梯度Ricci soliton一定是S3,IR3或S2×IR的一个有限商空间。