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近一个世纪以来,由芬兰著名数学家R. Nevanlinna创立的亚纯函数理论取得了长足的发展和进步,其中亚纯函数值分布理论、唯一性理论和正规族理论的发展尤为突出,取得了一系列重要而深刻的结果(见[1][2][3]).R. Nevanlinna、E.Mues、G.Gundersen、W.Schwick、W.Bergweiler、L. Zalcaman以及我国的熊庆来、庄圻泰、杨乐、仪洪勋、顾永兴、王跃飞、杨连中、庞学诚等复分析专家在上述领域取得了令人瞩目的成果.这些成果不但有力地推动了亚纯函数理论的蓬勃发展,而且也对相关的数学分支,如复动力系统、复域微分方程、P-adic分析和Non-Archimedeam域上的亚纯函数的研究都产生了一定影响.目前,以亚纯函数理论为共同基础的相关学科和研究领域的相互交叉与融合,产生了一些新的研究方法,使经典的亚纯函数理论中一些难点问题得以突破;同时,新的研究问题又不断出现.如在函数值分布和公共值方面就有很多重要的开问题尚未解决.由于Nevanlinna理论是研究函数族正规性和函数公共值问题的共同理论基础,因此,应用正规族理论研究函数值分布和公共值问题也有了充分的依据与可能.本文是在导师王建平教授的精心指导下,就亚纯函数族的正规性问题所做的一些研究,全文分为三章.第一章,主要介绍了与本文有关的亚纯函数值分布理论和正规族理论的主要概念、重要结果和常用记号,并且简述了亚纯函数正规族理论的发展、研究现状以及本课题研究的目的和意义.第二章,我们研究了涉及重零点的亚纯函数族的正规性,并从两个不同的角度证明了亚纯函数族的两个正规定则.结合涉及重零点的亚纯函数的微分多项式,证明了定理1;从函数分担值的角度,证明了定理2.具体结果如下:定理1设k≥2为整数, D为复平面C上的区域,均为D内的全纯函数且?z∈D , h ( z)≠0,设F为D内的亚纯函数族,且满足:,当k≥5时, f的零点重数至少为k ;当2≤k≤4时, f的零点重数至少为k + 1.置若存在常数M > 0使得都有f ( k)( z )≤M,则F在D内正规.推论1设k≥2为整数, D为复平面C上的区域, h( z )为D内的全纯函数,设F为D内的亚纯函数族,且满足: ,时, f的零点重数至少为k ;当2≤k≤4时, f的零点重数至少为k + 1.若,都有,则F在D内正规.推论2设k≥2为整数, D为复平面C上的区域,均为D内的全纯函数且,设F为D内的亚纯函数族,且满足:,当k≥5时, f的零点重数至少为k ;当2≤k≤4时, f的零点重数至少为k + 1.置若存在常数M > 0使得都有,则F在D内正规.推论3设k≥2为整数, D为复平面C上的区域,均为D内的全纯函数且,设F为D内的亚纯函数族,且满足:,当k≥5时, f的零点重数至少为k ;当2≤k≤4时, f的零点重数至少为k + 1.若,都有则F在D内正规.推论4设k≥2为整数, D为复平面C上的区域,均为D内的全纯函数且,设F为D内的亚纯函数族,且满足:,当k≥5时, f的零点重数至少为k ;当2≤k≤4时, f的零点重数至少为k + 1.若,都有则F在D内正规.定理2设k≥2为正整数,α为非零有穷复数, F为平面区域D上的亚纯函数族,且满足: (ⅰ)F中每个函数的极点重数至少为2; (ⅱ),当k≥5时, f的零点重数至少为k ;当2≤k≤4时, f的零点重数至少为k + 1.若与均以α为IM公共值,则F在D上正规.