钟万勰院士将弹性力学和无穷维Hamilton算子相结合,提出了基于Hamilton系统的分离变量法,建立起弹性力学求解新(辛)体系,解决了许多实际问题.此方法的数学基础是无穷维Hamilton算子特征值问题的成套理论,其中特征向量组的完备性尤为重要.本文研究了无穷维Hamilton算子的特征值问题,其内容包括特征值(即点谱)的对称性,特征值的几何重数、代数重数、代数指标,特征向量与根向量的辛正交关系,以及特征向量组与根向量组的完备性.　　 如所熟知,无穷维Hamilton算子的点谱和剩余谱的并集关于虚轴对称,但点谱本身的对称性尚不明确.注意到无穷维Hamilton算子的特征向量具有辛正交性,因此其特征值的对称性在研究特征向量组的完备性方面起重要作用.鉴于此,本文首先考察了上三角无穷维Hamilton算子特征值的对称性,分别给出其点谱关于虚轴和实轴对称的充分必要条件.此外,根据无穷维Hamilton算子的谱结构,还得到了上三角无穷维Hamilton算子剩余谱的刻画.　　 目前,无穷维Hamilton算子特征向量组的完备性研究仅限于实特征值和纯虚特征值情形,对于具有一般特征值的无穷维Hamilton算子,其特征向量组和根向量组的完备性均未提及,而且未见与无穷维Hamilton算子特征值的几何重数和代数重数有关的讨论.另一方面,以往讨论的完备性主要是针对具有实特征值和纯虚特征值的无穷维Hamilton算子提出的Cauchy主值意义下的完备性,但这一定义对于具有一般特征值的无穷维Hamilton算子一般是不适用的.鉴于此,本文提出了向量组在广义Cauchy主值意义下完备的定义,为深入研究无穷维Hamilton算子特征向量组和根向量组的完备性奠定基础.　　 在实际应用中,一个具体问题可以转化为许多等价的无穷维Hamilton形式,相应地可得到各式各样的无穷维Hamilton算子,其中上三角无穷维Hamilton算子在求解问题时具有一定优势.例如,相应上三角无穷维Hamilton算子的特征方程是解耦的,可以方便地计算出特征值、特征向量和根向量.为此,本文研究了上三角无穷维Hamilton算子特征向量组和根向量组的完备性.主要从以下三个思路展开:对于2×2上三角无穷维Hamilton算子和应用力学中出现的4阶上三角无穷维Hamilton算子,采用算子理论和Fourier分析的方法研究了特征值的几何重数、代数指标、代数重数,以及相应特征向量组和根向量组在广义Cauchy主值意义下完备的充分必要条件；提出求解应用力学中出现的一类上三角矩阵微分系统(包括上三角无穷维Hamilton系统)的新方法-双辛特征展开法,这涉及次对角算子矩阵特征向量组的完备性,因此文中给出其特征向量组在Cauchy主值意义下完备的充分必要条件.　　 本文还讨论了四块无穷维Hamilton算子的特征值问题,包括次对角元至少有一个可逆和主对角元为常数的情形,得到特征值的几何重数、代数指标、代数重数,以及特征向量组和根向量组的完备性,这些结果在很大程度上推广并丰富了目前已有的结果.　　 作为应用,本文以平面弹性问题、矩形薄板的自由振动问题、矩形薄板的弯曲问题、弹性地基上的板弯曲问题和流体力学中的Stokes流问题等丰富的实例说明了结论的正确性和合理性.