随着科技的发展,网络深入到我们生活的方方面面:人们通过电话,互联网联系着朋友和陌生人;通过送货员拿到生活用品;乘坐汽车,轮船,飞机往来世界各地.享受着网络发展带来的恩惠,然而,也承受着它所带来的烦恼:车辆抛锚造成交通拥堵带来出行的不便,电力网络超载后突然大面积断电致使城市生活难以运转等等.因此,什么样的网络是十分强健的,能应对日常生活中不好的事情的发生,变得尤为重要.网络的复杂结构使得它有丰富的动力学现象,特别是小世界网络和多个网络之间的耦合动力学问题.目前这方面的研究已经得到了广泛的关注.目前有关小世界网络的研究多基于平均场理论,然而平均场理论只是对实际网络方法的近似,从动力学研究的角度来看,要得到精确的稳定性判据是很难的.另外,耦合复杂网络由于节点规模大,结构复杂,即使应用数值方法求出系统的特征根也需要大量的计算耗费,进行精确的动力学分析更具挑战性.本文研究了小世界网络和耦合网络的稳定性和分岔问题,给出了比较保守的稳定性准则但可以确保小世界网络必然稳定;研究了耦合网络的动力学性质,特别是网络有重特征根时的复杂行为,具体的研究内容如下:(1)介绍了复杂网络的发展历程,给出复杂网络,尤其是小世界网络和多层复杂网络的研究背景及实际意义,探讨了小世界网络和多层复杂网络的研究现状,介绍了研究复杂网络动力学的方法与基础理论知识.(2)研究了一种具有兴奋性和抑制性小世界连接的时滞神经网络.对于平凡平衡点的全局稳定性的研究,基于李雅普诺夫直接法可以得到与时滞相关的准则.其结果表明,激励性和抑制性长程连接均会降低稳定性,但是时滞可作为全局稳定控制器.此外,利用矩阵摄动理论分析了邻接矩阵特征值的边界,得到了局部稳定性的一般充分条件.研究表明小概率的抑制长程连接有助于保持稳定.同时还研究了不稳定,分岔模式和混沌的机理.与基于平均场理论方法的结果相比,该方法可以保证系统在具有随机事件发生的情况下绝大多数情况下是稳定的.该方法对于在网络中同时存在兴奋性和抑制性捷径的情况是有效的.(3)研究了多层网络的层间同步问题,其每个网络层具有相同的拓扑结构,并且仅通过一个链接相连.首先通过复数域中的分而治之算法分析复杂网络邻接矩阵的特征值分布.然后分析平衡点的稳定性,以及给出Hopf分岔存在的充分条件.利用规范形理论和中心流形定理分析了产生镜面波和反射波的层间动力相互作用原理.当邻接矩阵具有重复特征值时,我们主要关注层间广义同步.讨论也是在网络层间有很多链接的情况下进行的.理论结果由一些多层网络模型验证.(4)研究了两个耦合环(主动环和备用环)中的非线性波与时间延迟的相互作用,以避免环拓扑的弱点,即节点失效或链路中断可能孤立每个节点.利用分治算法,解析地推导了耦合环系统与单环邻接矩阵特征值的关系.利用中心流形定理研究了其稳定性和周期局部动力学,进一步分析了耦合环之间的动力学相互作用,导致了更丰富的时空动力学,如镜像波,反射波,旋转波和混沌.特别注意横向耦合对系统时空动力学的影响.结果表明,适当的横向耦合设置可以保证从主动路径到备份路径的复杂动态(甚至是混沌)的备份.该方法是保持和恢复系统复杂动力学的有效方法。