【摘 要】
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由于在物理学,金融学等领域的研究中表明非局部算子能够充分体现各种实际现象的全局性质,因此涉及非局部算子的微分方程得到数学家们的广泛关注.过去二十年以来,借助非线性分析特别是极大极小原理及分支理论的办法,学者们获得了大量关于非局部方程相关结果.本文主要对两类涉及分数阶拉普拉斯算子的微分方程进行了探讨.第一部分,我们借助变分工具考虑下述周期问题（-Δ）su+F’（u）=0,u（x）=u（x+T）,x
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由于在物理学,金融学等领域的研究中表明非局部算子能够充分体现各种实际现象的全局性质,因此涉及非局部算子的微分方程得到数学家们的广泛关注.过去二十年以来,借助非线性分析特别是极大极小原理及分支理论的办法,学者们获得了大量关于非局部方程相关结果.本文主要对两类涉及分数阶拉普拉斯算子的微分方程进行了探讨.第一部分,我们借助变分工具考虑下述周期问题（-Δ）su+F’（u）=0,u（x）=u（x+T）,x ∈ R.当F为偶函数时,随着周期T变大,我们利用极大极小原理特别是Clark定理获得上述方程越来越多的奇对称的周期解.当F的偶性缺失时,我们利用Morse理论获得上述方程的2个周期解.第二部分,我们对下述分数阶Choquard方程变号解进行讨论（-Δ）su+u=（Kα*|u|p）|u|p-2u,x ∈ RN.对于每个给定的整数1 ≤ k≤N,我们利用Nehari流形上的临界点理论以及集中紧性原理,构造一个最小能量的k-奇对称变号解.同时,我们也利用Caffarelli-Silvestre技术给出上述方程一个最小能量变号解.
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