基于POD方法的两类波动方程向后欧拉有限元降维格式

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在物理、工程、医学、经济等科学研究中,遇到的很多问题都是用偏微分方程来表示,为了得到有用的数据和预测结果,需要对其进行求解.但是绝大多数偏微分方程的解很难以实用的解析形式来表示,于是偏微分方程的数值解法就成了求解偏微分方程的重要手段,在一定程度上弥补了这一问题的不足.然而数值方法也有其局限性,在求解复杂的偏微分方程问题的时候,无论是多么好的离散化格式,都需要很多的自由度,从而在内存和计算上付出很高的代价.因此,在保证方程的数值解具有足够高精度的情况下,简化计算量、截断误差的控制、节省运算时间和降低内存要求就成为了很有必要的研究问题.降维方法就是解决这一问题的有效方法之一,其中特征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition)方法是大家比较熟悉的一种降维方法,已成功的用于对复杂系统模型的降维.特征正交分解方法的实质就是对物理过程进行低维近似描述,最优的逼近已知数据,从而达到减化计算、节省计算时间和降低内存的目的.在本文主要研究了如下两个方面的内容:首先,主要把特征正交分解方法应用BBM-Burgers方程通常的欧拉有限元格式,为了克服BBM-Burgers方程通常的欧拉有限元格式计算量大的缺点,我们在有限元解中抽取了瞬像集合,然后用POD基张成的子空间,取代了有限元格式的有限元空间,将维数较高的欧拉有限元格式简化为维数较低且具有足够高精度的POD向后欧拉有限元格式.并给出了降维后的欧拉有限元误差估计.其次,阐述了如何构造基于特征正交分解方法的Rosenau-RLW方程通常的欧拉有限元格式,简化其为一个计算量很少但具有足够高精度的POD向后欧拉有限元格式,并给出了简化后的有限元误差估计.POD向后欧拉有限元格式比通常的欧拉有限元格式更有效.
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