振动这一现象在我们的日常生活中随处可见,对振动的研究和应用也给人们的生活带来了极大的便利,但是振动给工业生产带来不可小觑的危害。因此,研究振动对工业生产、设备设施的影响,最大程度的减少振动造成的损耗,属于机械设计中极为重要的环节之一。当使用粘弹性材料或者粘惯性材料作为振动系统的阻尼器时,用传统的整数阶微积分来描述没有得到良好的结果。因此引入分数阶微积分,更能准确地表征粘弹性材料或者粘惯性材料的力学特性。第一章介绍了分数阶微积分、分数阶振动、分布阶导数以及惯容器的研究背景。第二章简单列举了与本文研究有关的分数阶微积分的数学知识,包括几类特殊函数、积分变换,以及分数阶微积分的几种定义和性质;还介绍了谐波激励下的振动系统的相关知识,包括经典的振动微分方程,无阻尼的振动系统,有阻尼的振动系统。第三章引入分数阶导数项,阶数范围为（1,2）,研究在简谐力作用下的振动系统的稳态响应。探究分数阶导数项对阻尼、惯性的影响,得出了此范围下的分数阶导数项对系统粘惯性产生影响的结论。同时考虑了幅频关系和相频关系,以及分数阶导数对它们的影响。研究显示,分数阶导数可以用来描述粘惯性材料的力学特性。第四章引入分布阶导数项,同时考虑了（1,2）和（0,2）两个范围,研究在简谐力作用下的振动系统的稳态响应。考虑了一个包含参数p的指数形式的权函数,探究了阶数和参数对刚度、阻尼、惯性、幅频关系、相频关系的影响。研究显示,分布阶导数同样可以用来描述粘弹性材料和粘惯性材料的力学特性。第五章采用两种不同的Laplace逆变换方法,考虑分数阶振动方程的脉冲响应。阶数范围为（0,2）,阻尼项用Riemann-Liouville分数阶导数表示。第一种解析形式是由t的正幂组成的级数,它在小t时迅速收敛。第二种形式是负指数率衰减的阻尼振荡和负幂率衰减的单调恢复的叠加,其中无穷积分快速收敛于大t。此外,我们还引入了GaussLaguerre求积公式用于无限积分的数值计算,以生成响应的解析近似值。从这两种形式的响应中得到了小t和大t的渐近表达式。第六章从全文的研究成果到不足进行了一个回顾总结和未来展望。