矩阵几何是代数学的一个重要研究领域，它在代数，几何，图论等许多方面都有应用．保持问题是矩阵代数中一个十分活跃的课题，近年来取得了较多的成果．矩阵几何与保持问题有密切的关系，将矩阵几何基本定理应用于保持问题，特别是加法保持问题和线性保持问题，是矩阵几何在代数中的重要应用． 仿射Kac-Moody代数及其表示在数学物理的许多分支中都有重要应用．仿射Kac-Moody代数可看成从一维环面到复数域上有限维单李代数的多项式映射的泛中心扩张，其导子代数即Virasoro代数． Virasoro代数的表示在仿射Kac-Moody代数的可积模的构造及其结构分析和可积模的分类中扮演着重要的角色．作为其自然推广，人们研究了多变量环面的导子李代数，并对它的表示进行了研究． 本文在介绍了矩阵几何的基本概念、主要成果及线性保持问题的发展概况之后，应用矩阵几何刻划了几类重要的保持问题．同时，我们也给出了2维环面导子李代数的一类子代数，并研究了它的表示．下面我们更加详细地阐述各章的主要内容． 第二章给出了矩阵几何基本定理在保持问题中的几个应用．首先，利用长方阵矩阵几何基本定理给出了秩可加可逆加法映射的形式．其次，利用交错矩阵几何基本定理，我们研究了保粘切的半线性满射． 第三章应用矩阵几何基本定理刻画了方阵空间上保持粘切的加法满射的形式，改进并推广了前人相应的线性保持问题的结论．我们的方法是设法证明一个保持粘切的加法满射一定是双射，并且证明该映射及其逆均保持粘切，从而应用矩阵几何基本定理的结论解决问题．同时，我们还刻划了除环上方阵空间的保持一般线性群的加法满射． 第四章首先刻划了三角矩阵空间上强保持矩阵秩交换的加法满射的形式．然后刻划了强保持k元矩阵组秩倒序可交换的加法满射的形式． 第五章给出了域上方阵空间的保幂等映射的形式．本章考察的映射是非线性(加法)的，所考虑的问题与矩阵几何相类似，而且把之前文献的双向幂等保持推广到单向幂等保持．第六章首先构造了一个映射从2阶复矩阵集合到环面导子李代数集的一个映射，并刻画了在这个映射下像集中的所有子代数，其中包括全导子李代数及斜导子李代数等重要的李代数．最后研究了这些子代数由相应的线性李代数的表示通过Larsson函子给出的表示．