本文主要研究了一类有界区域上的的强不定方程组解的存在性问题以及一类全空间上的临界方程的全局紧性结果。 在第一章中，我们主要介绍半线性方程已有的研究成果，并对已有成果在研究过程中遇到的困难以及如何克服这些困难进行一个概述。 在第二章中，我们主要研究光滑有界区域上强不定方程解的存在性问题，其中Ω是RN的光滑有界区域，λk0<λ<λk0+l，λk是-△算子在Ω上取狄利克雷边值条件的第k个特征值。首先，我们将研究f（x，v）和g（x，u）在无穷远点渐进线性的情况，证明在适当的假设条件下，方程（1）至少存在一个非平凡的解。其次，我们将探讨f（x，v），g（x，u）在无穷远点超线性的情况，证明在适当的假设条件下，方程（1）至少存在一个非平凡的解。本文的主要结果已经在Electronic Journal of Differential Equations第2008卷上发表。 在第三章中，我们将证明全空间上的临界方程的一个全局紧性结果及相关的推论。本章的主要结果即将在Nonlinear Analysis TMA上发表。