1986年，Barnsley基于迭代函数系(Iterated Function System，IFS)理论提出了分形插值函数(Fractal Interpolation Function，FIF)的概念，由此产生了一种新的插值方法——分形插值法．与传统的插值方法（如多项式插值、有理函数插值和样条插值）相比，分形插值法在拟合非光滑、非规则的粗糙曲线和曲面的过程中显示出了很大的优势．该方法为数据拟合、函数逼近和计算机应用等领域提供了新的理论工具，在自然景观仿真、地形地貌模拟、信号处理等许多实际领域的应用中显示出强大的生命力．为了提高分形插值的灵活性和多样性，Barnsley和Massopust引入了隐变量分形插值函数(Hidden Variable Fractal InterpolationFunction，HVFIF)的概念．HVFIF是由向量值FIF在平面上投影而产生的，它本质上是由一类向量值IFS生成的，是一类具有更多自由度的FIF. FIF和HVFIF通常是连续而不可微的，难以用经典的微积分刻画其分析性质，而分数阶微积分是研究分形插值函数和隐变量分形插值函数的一个有力工具．由于FIF和HVFIF是由IFS生成的，IFS的自由参量和函数项是影响FIF和HVFIF的形态特征及其分数阶积分的重要因素．因此，研究纵向尺度因子和函数项的联合变化对分形插值函数、隐变量分形插值函数及其相关性质的影响是一个非常有意义的问题．　　 本文第一章介绍了分形的背景和研究意义及对相关文献的简单回顾．第二章主要介绍了分形的相关基础知识（如分形集的维数、迭代函数系、分形插值函数、隐变量分形插值函数、分数阶微积分的概念）、基本定理和基本方法．第三章考虑由迭代函数系的纵向尺度因子和函数项的联合扰动而引起的分形插值函数的扰动误差，给出了误差的一个解析表达式及上界估计．同时，给出了相应分形插值函数的分数阶积分的误差上界．结论表明分形插值函数及其分数阶积分对迭代函数系参数的轻微扰动不敏感．第四章研究HVFIF及其矩量和Riemann-Liouville分数阶积分的扰动误差问题．首先在一个确定的向量值IFS基础上，引入一个扰动IFS，考虑由参数和函数项联合扰动所引起的HVFIF的变化情况，给出所产生的HVFIF的扰动误差的一个解析表达式及上界估计．然后讨论扰动对HVFIF的矩量积分的影响，给出相应的矩量误差估计的上界．最后给出了相应隐变量分形插值函数的分数阶积分的误差上界．第五章是对本文的总结和展望．