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由于时滞和扩散现象在生态系统中是普遍存在的，因此用时滞扩散方程描述捕食系统更符合实际。本文主要通过重合度理论和构造Lyapunov函数的方法研究具有连续和离散时滞的捕食扩散模型。具体工作如下：
首先，研究了一类具有无限时滞和离散时滞的Lotka-Volterra捕食扩散模型。通过一个同胚变换将原模型化成一个等价模型；然后在给定的由周期解构成的空间内，对等价模型适当的放缩以及利用最值原理给出了模型解的上下界，并通过对解上下界的估计选取有界开集；于是在这个有界开集中利用重合度理论得到了模型正周期解存在的充分条件；通过构造一个含有二重积分的Lyapunov函数，得到此模型正周期解全局稳定的充分条件。
其次，研究了一类具有时滞和HollingⅢ型比率依赖的捕食与被捕食扩散模型。同样通过一个同胚变换将原模型化成一个等价模型，并对这个等价模型两边积分；然后利用柯西.施瓦兹不等式以及比较原理给出了模型解的上下界；于是通过重合度理论得到此模型正周期解存在的充分条件；构造含有待定系数的Lyapunov函数，通过渐近方法选取适当的系数并利用Barbalart引理得到模型正周期解稳定性的充分条件。
最后，考虑放养对模型的影响，讨论了一类具有Beddington功能反应和放养的时滞捕食扩散模型。仍通过同胚变换将原模型化为等价模型；然后对模型两边积分和适当的放缩；于是利用重合度理论得到了模型正周期解存在的充分条件；在证明周期解稳定性时，构造了含有两个待定系数的Lyapunov函数，同样通过渐近方法选取适当的系数并利用解的有界性对V（t）进行适当的放缩，得到模型正周期解稳定性的充分条件。
通过对种群系统周期解的存在性，稳定性的研究可以更好地指导人们利用自然，改造自然，这对于保持生态系统的多样性和生态环境的可持续发展有着广泛的理论和现实意义。