论文部分内容阅读
确定Abel积分的零点个数上界，是当今分岔理论研究的热门课题之一，这一问题和确定Hamilton系统与可积系统在多项式扰动下的极限环个数密切相关.由于这是Hilbert第16问题的一种特殊情况，所以把它叫做弱化的Hilbert第16问题.本文主要讨论形如H(x，y)=X-3(1/2y2+Ax2+Bx+C)(A，B，C为实参数)的二次可积系统扰动下的Abel积分的零点个数的估计问题，全文分为五个部分，第一部分介绍了研究现状以及本文主要的结论，第二部分研究了x=Hy/M，y=-Hx/M的正规形，这里H(x，y)=(ax+by+c)kP2(x，y)，P2(x，y)=∑i+j≤2aijxiyj,a2+b2≠0，k∈Z，给出了至少有一个中心的上述系统所对应的首次积分形式，及其轨线的拓扑结构图。
本文的第三部分讨论了首次积分为H(x，y)=X-｜k｜(1/2y2+Ax2+Bx+C)，其对应系统在n次扰动下的I(h)的代数构造，得出其有k个生成元，并给出了表示式中系数多项式的阶数。
文章的后三部分讨论了至少有一个中心的二次可积系统在一般n次扰动下的Abel积分，I(h)=∮[M(x，y)g(x，y)]dx-[M(x，y)，f(x，y)]dy的零点个数上界，这里f(x，y)，g(x，y)是关于x，y的n次多项式.首先，我们根据I(h)的代数构造，证明了I(h)可表为三个生成元J-1(h)，J0(h)，J1(h)的组合，即，I(h)=1/hn-3(α(h)J-1(h)+β(h)J0(h)+γ(h)J1(h))其中degα(h)≤n-3，degβ(h)≤n-3，degγ(h)≤n-3；最后，利用广义Rolle中值定理，证明Abel积分I(h)的零点个数B(n)≤7n，即B(n)被依赖于n的线性函数所控制。