【摘 要】
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反常次扩散方程涉及到的学科越来越多,如物理、化学、生物医学、力学等,反常次扩散方程的研究引起人们广泛的关注.时间分数阶平流-色散方程采用分数阶Fick定律代替经典的Fick定律,从物理角度出发,描述长记忆的传输过程.本文分别研究反常次扩散方程反演初值和源项问题、时间分数阶平流-色散方程反演初值和源项问题,这四个问题都是不适定问题,需要利用正则化方法求解.本文第二章研究齐次反常次扩散方程反演初值问题
【基金项目】
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国家自然科学基金项目（11961044）；
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反常次扩散方程涉及到的学科越来越多,如物理、化学、生物医学、力学等,反常次扩散方程的研究引起人们广泛的关注.时间分数阶平流-色散方程采用分数阶Fick定律代替经典的Fick定律,从物理角度出发,描述长记忆的传输过程.本文分别研究反常次扩散方程反演初值和源项问题、时间分数阶平流-色散方程反演初值和源项问题,这四个问题都是不适定问题,需要利用正则化方法求解.本文第二章研究齐次反常次扩散方程反演初值问题.首先证明这类问题是不适定的,然后分析在源条件下该问题的最优误差界,并应用拟边界正则化方法、分数阶Landweber迭代正则化方法、Landweber迭代正则化方法解决这个反问题,其次在基于先验界和不一致原理的前提下,分别推导出精确解和正则解之间的先验误差估计式和后验误差估计式.本章最后一节由数值算例验证三种正则化方法的合理性.第三章研究非齐次反常次扩散方程反演源项问题.首先证明该反问题是不适定的,其次分析该问题在源条件下的最优误差界,并应用拟边界正则化方法、Landwebe-r迭代正则化方法解决这个反问题.基于先验界和Morozov不一致原理,分别推导出精确解和正则解之间的先验和后验误差估计式.本章最后一节由数值算例验证两种正则化方法的合理性.第四章研究时间分数阶平流-色散方程反演初值问题.首先证明该反问题是不适定的,然后分析在源条件下该问题的最优误差界.应用拟边界正则化方法、分数阶Landweber迭代正则化方法、Landweber迭代正则化方法解决这个反问题,并推导出精确解和正则解之间的先验和后验误差估计式.本章最后通过数值算例证明三种正则化方法的有效性及稳定性.第五章研究时间分数阶平流-色散方程反演源项问题.首先证明该反问题是不适定的,然后分析在源条件下该问题的最优误差界.应用分数阶Landweber迭代正则化方法和Landweber迭代正则化方法求解该问题,推导出精确解和正则解之间的先验和后验误差估计式.本章最后通过数值模拟验证正则化方法的有效性及稳定性.本文第二章和第三章所研究的反常次扩散方程反演初值和源项是一个较新领域的反问题.第四章针对时间分数阶平流-色散方程反演初值问题,采用三种正则化方法不仅给出在源条件下的最优误差界,而且还推导出精确解和正则解之间的先验和后验误差估计式.第五章针对时间分数阶平流-色散方程反演源项问题,采用两种正则化方法解决该问题,首先在源条件的基础上,给出该问题解的最优误差界,其次,得到精确解和正则解的误差估计式.本文当中所得到的结论都能够充分的说明正则化方法在处理这几类不适定反问题时都是可行的.
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