细分方法已经广泛应用于任意拓扑的光滑曲面造型、交互计算机图形学(CG)、计算机动画以及计算机辅助设计(CAD)等领域.从上个世纪八十年代以来,得到了广泛而深入的研究.至今研究多集中在各种静态细分规则的构造、细分方法的收敛性与连续性分析以及基于多项式理论的细分格式的实用算法等方面.而在非静态细分格式的构造和分析、特殊曲线(如圆锥曲线等)的细分生成、非多项式细分格式的快速计算方面还有很多工作要做.本文在对细分方法的背景、发展历史与概况、特点、基本概念、格式分类及细分收敛性分析进行综述的基础上,研究构造动态的重构指数多项式细分格式的理论框架,包含格式构造、收敛性和光滑性分析等;研究能够精确生成圆锥曲线的Hermite细分格式;研究缺乏解析表达式的插值细分曲线曲面的精确求值等问题.论文的主要工作如下:多数细分法文献侧重研究静态细分法的构造、收敛性和光滑性分析及其在曲线曲面造型中的应用.而静态细分格式一般生成的是多项式曲线曲面,象圆锥曲线这样的简单几何却无法得到,重构指数多项式空间在理论上还有许多工作要做.本文提出了一种构造动态细分格式的框架性方法,利用该框架构造出的细分格式可以重构指数多项式空间,而且含有一个松弛参数可以调整极限曲线的形状以及光滑性的阶数.对于指数多项式空间维数的奇偶不同分别按两种方式构造细分方法,奇数维空间对应Primal格式,偶数维对应Dual格式,这两种格式是按照细分自然参数化的不同方式来定义的.按照本文的构造方法构造的细分格式可以包含重构多项式空间的静态插值细分方法,以及一些逼近细分方法等.构造过程主要是解掩模所满足的线性方程组,求解可得细分系数.本文给出了线性方程组的解的存在唯一性证明.指数多项式空间是通过常微分方程的解来定义的,空间中的函数在等间隔离散采样点上的值,可以通过求解常微分方程对应的差分方程来得到.而细分是对指数多项式空间中的函数在等距离散采样点上的值来做递归加细的,因此细分掩模自然的就与差分方程建立了联系,本文将利用差分方程理论给出细分掩模更具体的形式.在此框架下,多项式作为指数多项式的特殊情况,其细分掩模可以更容易的给出,本文给出了比较详细的结果.对于动态格式我们给出了收敛性及光滑性的证明,采用的是渐近一致等价的技巧,可以用经典的静态格式分析理论给出光滑性阶数.由于圆锥曲线是指数多项式空间的一个特例,这说明利用本文的方法可以给出重构圆锥曲线的格式.而由于有了一个松弛参数,我们还给出了一种通过调整松弛参数来重构圆锥曲线的细分格式.实例说明本文构造的格式可以包含几种重要的细分方法,并能产生新的具有良好性质的格式.为了能够精确生成圆锥曲线,本文提出了一种带松弛参数的Hermite插值细分格式,构造方法同样是是求解细分掩模满足的线性方程组.如果第k层上的点是所对应函数曲线上的点,则新产生的点也要是同一个函数在规定的参数上的点,然后求解满足上述条件的线性方程组,得到细分系数.利用分析动态细分格式的渐近一致等价的定理、结论和线性Hermite插值细分格式的理论,对构造的细分格式进行了理论分析和证明,找到了与其渐近一致等价的格式.构造的细分格式提供了一个松弛参数,当该松弛参数取值在一定的范围并且任意增大时生成的极限曲线将越来越逼近于初始控制多边形.当恰当地选择松弛参数不同的初值时,该细分格式能够精确生成三次多项式、三角函数和双曲函数.因此,选择特殊的松弛参数初值我们就能够生成所有的圆锥曲线段.最后给出一些实例来说明利用不同的松弛参数初值和改变切向量对极限曲线的影响.插值细分方法一方面由于能够保持初始网格上的顶点信息而受到广泛关注和应用,另一方面由于该类方法大多缺乏解析性表示,使得对插值细分曲线曲面的精确求值变得非常困难.本文提出了一种可以精确求值插值细分曲线、细分曲面(四边形网格情形)的算法,并将算法推广到了非多项式情形.通过分析了静态插值细分格式与双尺度方程(加细方程)的关系,提供了本文求值算法的理论基础.构造了与细分格式相关的矩阵序列,并对给定有理数进行m进制分解,通过特征分解循环节对应算子乘积,计算得到控制顶点权值,从而实现对称型静态匀m-ary插值细分曲线曲面的有理点精确求值(含位置信息以及切向量),算法适用于一维曲线细分以及四边形网格情形.本文同时给出了对于奇异顶点附近的参数化方法和求值算法,实现了对任意拓扑网格的插值细分曲面求值.进一步地,将算法推广到了其他非多项式形式细分中.具体细分实例证明算法的可行性与有效性.本文提出了基于三角网格的Butterfly细分插值细分曲面的精确求值算法.通过分析Butterfly细分曲面的局部参数化,给出了加细过程中参数域的变换过程.基于对给定参数的二进制分解,提出了三个参数分量分解数列所对应的序列构造方法.构造了以给定面邻接二环的局部加细矩阵,提出了求值正则极限曲面的三种算法.本文同时还给出了处理非奇异网格的矩阵方法,使得求值算法可处理任意拓扑网格.并给出了利用该算法进行三角网格重采样的实例.以(?)细分格式为例,把该文算法推广到求值其他非多项式三角网格细分情形.