本文系统地介绍了基于伪牛顿法的四元数信号压缩感知恢复算法。压缩感知作为一种新的采样理论是建立在信号稀疏表示的基础之上的，它通过原始信号的稀疏特性，在远低于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法高精度的重建原始信号。该理论主要涉及到三个核心问题:原始信号的稀疏表示、被测信号的采样过程和信号重建算法的设计。其中，信号重建算法部分将会是本文重点研究的内容。　　本文围绕压缩感知理论展开深入的研究，同时结合了近年来受众多学者们所关注的四元数(Quaternion)和超复数(Hypercomplex)代数理论及其在信号与图像处理中的应用，分别对复数图像和彩色图像信号的稀疏分解和图像重建方法进行了重点研究，并取得了一定的研究成果。　　本文的主要工作和研究成果如下:　　(1)详细的介绍了压缩感知的理论知识，并对信号的稀疏表示、压缩感知的测量编码模型和解码重构模型进行了详细的叙述。　　(2)对四元数代数理论做出了详细的介绍，另外为了将压缩感知理论运用于彩色图像的压缩恢复问题，我们也系统的介绍了RGB颜色空间和CMYK颜色空间以及它们之间的转换。这样做的目的是为了将CMYK色彩模型中的4种基色分别放在四元数的一个实部和三个虚部进而组合成一个四元数向量矩阵，运用四元数的欧拉表示方法将这个向量矩阵表示成幅度和相位的形式，可以很好地结合三个通道数据之间的相关性。　　(3)通过对比实数域压缩感知优化问题的不同伪牛顿分析方法，诸如对称秩1(SR1)算法、DFP算法、DFPS算法等，我们分别对不同实验结果的迭代次数和恢复结果的信噪比进行对比，找到了最适合处理稀疏信号优化问题的伪牛顿分析方法，为后文复数图像和彩色图像的处理做好准备。　　(4)基于一维向量法的图像重建:提出了一种将二维图像转化为一维向量，对一维向量进行采样和恢复的算法。为了充分地利用原始图像的信息，在优化方程中增添了图像的幅度和相位信息作为新的约束项，并采用行扫描和列扫描相结合的方式，弥补了因单独按行进行处理或单独按列进行处理而导致的图像相关性的割裂问题。实验结果表明，这种方法在时间上具有足够的优越性，并且图像的恢复结果比单独的扫描方式要好。　　(5)基于总变差方法的图像重建:提出了一种将二维图像作为一个整体进行处理的方法，避免了类似于基于一维向量法的图像重建方法中图像相关性的割裂问题。同样我们在优化方程中增添了图像的幅度和相位信息作为约束项，使得恢复的结果更为平滑。实验结果表明，这种方法在恢复效果上要优于基于一维向量法的图像重建。基于总变差方法的图像重建的采样过程与传统压缩感知中的采样方式不同，传统的采样方式是在时域中进行的，基于总变差方法的采样方式是在频域中进行的。