【摘 要】
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非线性偏微分方程被用来描述自然界和物理界中的许多波的传播现象,例如对波在电磁学、声学和流体力学中的传播进行模拟.然而,对大多数的偏微分方程,特别是非线性的偏微分方程,一般情况下用分析的手段得到它的解析解或精确解十分困难.随着计算机硬件和软件技术的快速发展,数值模拟日益成为求解偏微分方程的重要方法.本文主要研究了三类非线性偏微分方程的有效数值求解方法,这三类方程分别为:Ginzburg-Landau
【基金项目】
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国家自然科学基金项目（批准号:12161067,11772165）； 宁夏自然科学基金重点项目（合同号:2022AAC02023）；
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非线性偏微分方程被用来描述自然界和物理界中的许多波的传播现象,例如对波在电磁学、声学和流体力学中的传播进行模拟.然而,对大多数的偏微分方程,特别是非线性的偏微分方程,一般情况下用分析的手段得到它的解析解或精确解十分困难.随着计算机硬件和软件技术的快速发展,数值模拟日益成为求解偏微分方程的重要方法.本文主要研究了三类非线性偏微分方程的有效数值求解方法,这三类方程分别为:Ginzburg-Landau方程、Zakharov-Rubenchik方程和正则长波方程.针对这三类非线性波传播方程,构造了一些线性的高精度有限差分格式并分析了这些差分格式的守恒性、收敛性和稳定性.具体研究内容如下:首先针对一维和二维带周期边界条件的Ginzburg-Landau方程,构造了两种高精度线性有限差分格式.第一种格式是基于泰勒级数展开方法和四阶紧致差分公式分别对时间和空间方向进行离散,采用一些技巧使得所得格式为线性格式,该格式在时间方向具有二阶精度,空间方向具有四阶精度,并且采用能量分析法证明了格式的守恒性、收敛性和解的存在唯一性;第二种格式采用四阶向后差分公式和四阶紧致差分公式分别对时间和空间方向离散化,并且采用插值的方法使该格式为线性的,该格式的时间和空间方向均具有四阶精度,通过理论分析可得该格式的解存在且唯一.通过数值实验验证了两种格式的精确性、稳定性和守恒性.然后,针对一维带周期边界的条件的Zakharov-Rubenchik方程,在时间方向上采用泰勒级数展开的方法和在空间方向上采用四阶紧致差分公式,得到了一种时间方向二阶精度和空间方向四阶精度的紧致差分格式.由于Zakharov-Rubenchik方程是一个耦合的方程组,本文采用了一些技巧,使所得到的格式为线性化格式,每个格式可以独立显式求解.通过能量分析法分析了该格式是守恒的.最后通过数值实验验证了这种格式是精确的、稳定的和守恒的.最后,构造了两种求解一维和二维的正则长波方程的高精度有限差分格式.第一种格式时间方向的离散基于Crank-Nicolson格式,空间方向的离散基于四阶紧致差分公式和四阶Padé格式,通过插值的方法将格式线性化处理,得到了时间二阶精度和空间四阶精度的线性格式;第二种格式时间方向的离散基于四阶向后差分公式,空间方向的离散基于四阶紧致差分公式和四阶Padé格式,同样采用插值的方法对该格式线性化处理,最终得到了一种时间和空间方向均具有四阶精度的线性格式.通过能量分析法和数学归纳法对两种格式的守恒性、稳定性、解的唯一性和收敛性进行理论分析.最后通过数值算例验证了两种格式的精确性、稳定性和守恒性.
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