【摘 要】
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本文主要是给出了一般有限维群代数的二次Quantum Double的第一特征标正交关系式、本原中心幂等元的计算公式以及不可约模的张量积分解公式,计算并确定了二面体群群代数的二次Quantum Double D（D（CDm））的所有不可约模以及相对应的本原中心幂等元.作为应用,得到了三族以二面体群群代数的Quantum Double D（CD3）为余根基的新的Hopf代数（维数分别为432,432,
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本文主要是给出了一般有限维群代数的二次Quantum Double的第一特征标正交关系式、本原中心幂等元的计算公式以及不可约模的张量积分解公式,计算并确定了二面体群群代数的二次Quantum Double D（D（CDm））的所有不可约模以及相对应的本原中心幂等元.作为应用,得到了三族以二面体群群代数的Quantum Double D（CD3）为余根基的新的Hopf代数（维数分别为432,432,5184）以及一个疑似为非群型的有限维Nichols代数的例子,并且给出了一类基于Rack的集合论的Yang-Baxter方程的解,这些解都是非群型的.本文首先通过模范畴的等价,将D（D（CG））的表示转化为D（CG）的Yetter-Drinfel’d模范畴的研究,从而可以利用一般Hopf代数上Yetter-Drinfel’d模的构造去避开D（D（CG））中复杂的乘法运算.然后类比群代数的表示理论,确定了D（D（CG））的模都是酉模.从而得出其特征标第一正交关系式,并且给出了一组正交本原中心幂等元的计算公式以及其单模的张量积分解公式.特别地,对于有限群取为二面体群Dm时,利用Hopf代数的2-上圈扭计算确定了D（CDm）的所有不可约Yetter-Drinfel’d模及其对应的本原中心幂等元.并通过Bosonization,得到了三族以D（CD3）为余根基的Hopf代数的例子.历史上对于非对角型的有限维Nichols代数的寻找是困难的,并且找出来的及其有限的例子都属于群代数的Yetter-Drinfel’d模范畴.本文从所得到的一个Yetter-Drinfel’d模的例子抽象出一类基于Rack的集合论的Yang-Baxter方程的解,这些解都是非群型的.这将为寻找新的非对角型的有限维Nichols代数提供新的途径.
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