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分形插值函数首先是由Barnsley于1986年在论文Fractalfunction and interpolation中提出的，它为数据拟合提供了一种新的途径.分形插值方法具有很强的灵活性，不仅可以用来拟合光滑的曲线和曲面，而且更是在不光滑曲线和曲面的拟合中显示其独特的优越性.
本课题的主要工作是研究了分形插值曲线、曲面的光滑性与可微性的问题.第一章对分形插值函数的产生，发展概况作了简单介绍.第二章介绍了一些基本概念及相关的命题.第三章中介绍了分形插值曲线的基本概念，构造了一类迭代函数系，介绍了由此迭代函数系产生的一类非均匀分形插值函数的可微性，光滑性.以及这类分形插值函数在区间上几乎处处可微的和在某点不可微的充分条件.第四章中，首先给出了分形插值曲面的概念，其次在矩形区域上构造了一类迭代函数系，研究了由此迭代函数系产生的一类非均匀分形插值曲面的可微性与光滑性问题，给出并证明了分形插值曲面几乎处处可微的条件，同时得到了分形插值曲面在某一点不可微的充分条件.并进一步研究了一类非均匀分形插值曲面的光滑性与Holder指数，当垂直比例因子满足一定的条件时，分形插值函数满足Holder条件，并在分形插值曲面不是一平面时，给出了Holder指数的一个估计范围.