Fourier分析已经成为几乎每个研究领域的科学工作者都乐于使用的数学工具,小波分析则是Fourier分析的发展和完善。由于小波分析的发展是以解决实际问题应用为出发点,而后上升到辐射多学科的理论,所以小波分析一次又一次形成研究热潮,成为国际研究热点。 本文从讨论小波分析的基础理论和一些重要结论为入手点,利用微分算子的紧支集小波表示讨论了小波分析在偏微分方程数值解中的应用,并选择Daubechies小波,用MATLAB语言对几个偏微分方程进行了数值求解,数值实验结果表明该方法是有效的。 全文共分四章: 第一章是绪论,综述了小波分析的产生、发展及其在偏微分方程数值求解中的应用。 第二章介绍了小波分析的基础理论。包括小波变换的定义、性质,一维、二维多尺度分析和小波基。另外,对于无限长的小波使用时只能用其截断函数,截断必然带来误差,而一种新型小波—紧支集正交小波能避免截断,从而消除误差.这种小波的一个例子就是Daubechies小波,它是有限长的,即只在有限区间内取非零值。本章对Daubechies小波也作了比较详细的介绍,为后面使用它奠定了理论基础。 第三章总结了微分算子的小波表示的相关结论。在本文所列的微分方程的小波解法中非常重要的一步就是对偏微分方程中的微分算子进行小波表示,从而进行数值求解。在用小波表示微分算子的过程中减少运算量是一个重要问题,针对这一问题本文介绍了一种比较好的算子的小波表示—算子的非标准型。算子T的非标准型定义为算子集:T={A_j,B_j,C_j}j∈z。其中 A_j=Q_jTQ_j;B_j=Q_jTP_j;C_j=P_jTQ_jP_j,Q_j分别是尺度空间和小波空间上的投影算子。 第四章研究了几个具体的偏微分方程:热传导方程、对流方程、以及一类非线性方程u_t=L_u+Nf(u)的Daubechies小波解;对于相关算法给出了误差分析,得到了数值实验结果。结果表明小波基在偏微分方程数值求解中的应用是非常有效的。