2015年度，我国A股市场频频出现暴跌踩踏场面，其惨烈程度超过1997年的香港金融风暴。作为套期保值和投机做空的主要工具，以股指期货合约、ETF基金为代表的金融衍生品交易，成为股市濒危、金融重创的最大推手，给国家金融证券市场带来了巨大的动荡。这些金融衍生品，均由Black-Scholes方程为基础的期权定价模型来定量描述。　　经典Black-Scholes模型假定基础资产波动率恒定。国内外金融证券市场的海量交易数据分析表明，波动率是价格和时间的非线性函数。波动率函数的更为精确的描述和分析，第一条途径是采用ARCH-like模型，它代表了近几十年来金融计量学的重大创新。第二条途径是引入分数阶概念修正经典Black-Scholes模型，采用Levy过程刻画随机变量波动行为，从而导致了分数阶随机微分方程模型。　　以随机函数的微分项和积分项同时出现为表征的分数阶随机微分方程模型，难以存在解析表达形式的模型的解，基于科学与工程计算的数值模拟与仿真成为其定量求解的唯一途径。分数阶随机微分方程方向上的相关研究，在金融工程领域，主要关注其定性和定量的合理性;在应用数学领域，主要关注其与随机过程间的融合;在计算科学领域，则主要关注其数值离散方法、数值求解算法、并行计算及程序实现，关注计算结果与实证数据之间的比较与分析。文献调研表明，在分数阶随机模型的数值离散、数值求解软件架构、并行实现等方面，面向金融资产定价的分数阶随机偏微分方程的研究，仍处于探索阶段，鲜有系统性的分析和论述。　　本论文立足于计算科学的研究视角，针对分数阶随机微分方程的理论和计算进行研究，其离散过程涉及到复杂的微分积分方程数值离散，随机过程涉及到经典布朗运动与跳跃过程的组合，求解过程涉及到非线性问题的离散化、Toeplitz矩阵系统及特定的预条件子构造、Krylov子空间求解算法和数值模拟程序实现等问题。论文的研究内容，涉及到现代金融、应用数学、计算机软件与理论、计算科学等相关领域专业知识的交叉与融合，意图为最终形成实用的数值模拟应用软件，在理论和计算方面，突破关键算法瓶颈，做出基础的、前沿的、系统的应用基础研究工作。　　基于分数阶随机微分方程模型，针对金融证券领域的美式期权定价、欧式期权定价问题，本论文在国际主流研究文献的基础上，致力于设计并实现有针对性的高效的数值离散与求解方法，给出实用的数值计算程序模块。论文的主要创新性研究包括:1）基于国际上的主流研究及进展，将分数阶概念与美式期权定价相结合，构造了“分数阶美式期权定价模型”;2）针对分数阶美式期权定价模型和欧式期权定价模型，给出了分数阶随机微分方程的离散化算法，针对美式期权设计并实现了基于罚方法的数值求解算法;3）基于Sundials数值软件包的组件模块，进行了相关算法的程序实现，其矩阵乘向量模块利用了Toeplitz矩阵特性，给出了基于FFT变换的的快速实现，其预条件子的构造，同样利用了Toeplitz矩阵特性给出了快速实现。　　在本论文的研究过程中，我们独立完成并实现了基于分数阶随机微分模型的数值计算的完整链条，其中包括:基于美式期权的分数阶随机微分方程模型的构造，分数阶随机微分方程的数值离散算法，基于Toeplitz矩阵的快速求解与预条件子，基于离散化线性方程组的求解算法与程序实现，Krylov子空间求解算法及其预条件子在典型模型下的数值试验与比较，典型算法的谱分析与收敛性分析等。