数值流形方法是一种广义高精度的数值计算方法,它采用由两套分开且相互独立的数学网格和物理网格组成的有限覆盖系统进行数值计算。固定的数学网格能简化网格划分和避免网格畸变。提高覆盖函数的阶次有利于提高数值解的精度。相比有限元法,无网格法,在边界处理、数值解精度上有明显优点。最新的关于数值流形方法的研究主要集中在数值流形方法的应用和位移函数改进方面。现有的流形单元网格多采用有限覆盖的三角形网格,四边形网格,虽然单元构造简单,但缺点是网格数量大、计算量大、单元存在剪切自锁等问题。对于几何复杂的问题,求解精度不理想。本文考虑到传统流形单元的问题,提出一种协调的多边形流形单元,为获得该流形单元权函数,建立该流形单元的网格生成,本文进行了以下研究：1.对现有各种典型的多边形单元及其形函数性质进行了详细的对比分析,根据数值流形方法权函数性质及选取的特点,确定权函数(形函数)形式以及多边形流形单元的特点。2.对选定权函数性质进行了更深入的分析与推导,首先从流形方法的基本概念与模型出发,基于有限元插值模型对一般流形方法的收敛性、稳定性、协调性进行分析。然后,对权函数的非负性、单位分解性、单元边界的线性特性作了相应说明。最后,基于对流形方法收敛性与稳定性的研究,对权函数的插值误差作了深入的分析与推导,得出了多边形单元流形误差至少具有与一般三角形单元、四边形单元相同精度等级的结论。3.对选定多边形单元边界的协调性进行了分析,给出了由三角单元、四边形单元构成的多边形流形单元满足单元边界高阶协调性时的协调方程。4.分析总结了流形单元一般物理覆盖生成的基本过程,给出了区域内生成Delaunay三角网格的算法实现,以及由三角网格最终生成多边形网格的程序流程。5.对几种典型的数值积分进行了对比分析,对流形方法积分方式进行了详细而全面的分类,给出对于不同积分方式对应的积分方案.6.基于数值流形方法收敛性、稳定性的研究,分析推导出了影响局部覆盖函数选取的因素,为局部覆盖函数的选取提供了依据,并给出了一种合理的局部覆盖基函数形式。本文对流形方法收敛性、稳定性、协调性、以及覆盖函数选取的研究,完善了数值流形的理论。本文提出了一种多边形流形单元,理论上证明了该方法的有效性,是一种新的采用流形方法解决复杂问题的思路与方法,本文对该流形方法的研究将具有一定的理论和实际意义。